最快的方法来计算2x2矩阵的幂

Question

我有一个2x2矩阵M，它通常很复杂。将M乘以n次的最快捷方式是什么，即M ^ n？我可以想到两种方式：

一个。对角化并将它们相乘

B中。将n分成小组。例如，如果n=15，那么我可以执行以下操作：

1. A = M×M个
2. B = A * A = M ^ 4
3. C = B * B = A ^ 8
4. 中号 A 的B * C = M ^ 15

总的来说，我需要做6次矩阵乘法。

我的问题是：

1. 哪种方法更快？

2. 还有其他方法可以实现吗？

3. 对于我的第二种方法，如何为任何n实现算法？如果n是2的幂，那么很容易，但是当它不是如何在我给出的例子中分解乘法和分组时呢？

Answer 1

1. 我认为A更好，因为在A中，对角化矩阵后它是O（1），而在B中复杂度是O（log（n））

2.除了琐碎的一个（将矩阵自身乘以n次），我不知道。

1. 您应该将n表示为二进制数，并且仅将位数乘以“1”。例如：15 = 1111（bin）所以你有：2 ^ 0,2 ^ 1,2 ^ 2,2 ^ 3，因此你需要乘以以上所有来得到答案。让我们再拿一个n，比如n = 23。 二进制表示是10111，所以你需要权力直到5（2 ^ 0,2 ^ 1,2 ^ 2,2 ^ 3 ^ ^ 4） - 你只需要“1”的位置 - 所以你乘以2 ^ 0 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 4（因为第4个索引，指的是2 ^ 3是0，你不加倍）。