Question

我正在尝试生成符合规范的所有独特的有向图：

每个节点必须有2个输入
并允许任意多次输出到图中的其他节点

我目前的解决方案很慢。例如，对于6个节点，算法花费了1.5天的时间来到达认为它完成的地方，但它可能还要再检查几天。

我的n节点图的算法：

生成所有n - 长度为0的字符串，其中一个符号为1，例如，对于n = 3，[[0,0,1], [0,1,0], [1,0,0]]。这些可以被认为是来自单位矩阵的行。
生成所有可能的n * n矩阵，其中每一行都是step 1. + step 1.的所有可能组合

这是连接矩阵，其中每个单元格代表从column-index到row-index的连接

因此，对于n = 3，这些是可能的：

[0,1,0] + [1,0,0] = [1,1,0]
[1,0,0] + [1,0,0] = [2,0,0]

这些代表节点的输入，通过向自身添加步骤1，结果将始终代表2个输入。

例如：

     A B C     
A' [[0,1,1],
B'  [0,2,0],
C'  [1,1,0]]

所以B和C分别与A相关联：B -> A', C -> A'，

B连接自己两次：B => B'

我只想要独一无二的，所以对于生成的每个连接矩阵，我只能保留它，如果它与已经看过的图形不同构。

这一步很昂贵。我需要通过遍历同构图的每个排列，对它们进行排序，并将第一个作为“规范形式”来将图形转换为“规范形式”。

如果有人潜水测试其中任何一项，这里是n个节点的唯一图表计数：

2 - 6
3 - 44
4 - 475
5 - 6874
6 - 109,934 (I think, it's not done running yet but I haven't found a new graph in >24 hrs.)
7 - I really wanna know!

可能的优化：

因为我要生成要测试的图形，有没有一种方法可以将它们排除在外，而不进行测试，因为它们与已经看过的图形同构？
有更快的图形同构算法吗？ ~~我认为这个与“Nauty”有关，而~~还有其他我在论文中读过的内容，但我还没有实现它们的专业知识（或带宽）。

这是一个可证明的连接矩阵，可以在graphonline.ru上绘制以获得乐趣，显示自我连接，以及与同一节点的2个连接：

1, 0, 0, 0, 0, 1, 
1, 0, 0, 0, 1, 0, 
0, 1, 0, 1, 0, 0, 
0, 1, 2, 0, 0, 0, 
0, 0, 0, 1, 0, 1, 
0, 0, 0, 0, 1, 0,

这里是haskell中的代码，如果你想玩它，但我更关心的是让算法正确（比如修剪搜索空间），而不是实现：

-- | generate all permutations of length n given symbols from xs
npermutations :: [a] -> Int -> [[a]]
npermutations xs size = mapM (const xs) [1..size]

identity :: Int -> [[Int]]
identity size = scanl
                (\xs _ -> take size $ 0 : xs)      -- keep shifting right
                (1 : (take (size - 1) (repeat 0))) -- initial, [1,0,0,...]
                [1 .. size-1]                      -- correct size

-- | return all possible pairings of [Column]
columnPairs :: [[a]] -> [([a], [a])]
columnPairs xs = (map (\x y -> (x,y)) xs)
                 <*> xs

-- | remove duplicates
rmdups :: Ord a => [a] -> [a]
rmdups = rmdups' Set.empty where
  rmdups' _ [] = []
  rmdups' a (b : c) = if Set.member b a
    then rmdups' a c
    else b : rmdups' (Set.insert b a) c


-- | all possible patterns for inputting 2 things into one node.
-- eg [0,1,1] means cells B, and C project into some node
--    [0,2,0] means cell B projects twice into one node
binaryInputs :: Int -> [[Int]]
binaryInputs size = rmdups $ map -- rmdups because [1,0]+[0,1] is same as flipped
         (\(x,y) -> zipWith (+) x y)
         (columnPairs $ identity size)

transposeAdjMat :: [[Int]] -> [[Int]]
transposeAdjMat ([]:_) = []
transposeAdjMat m = (map head m) : transposeAdjMat (map tail m)

-- | AdjMap [(name, inbounds)]
data AdjMap a = AdjMap [(a, [a])] deriving (Show, Eq)

addAdjColToMap :: Int -- index
               -> [Int] -- inbound
               -> AdjMap Int
               -> AdjMap Int
addAdjColToMap ix col (AdjMap xs) = 
  let conns = foldl (\c (cnt, i) -> case cnt of
                        1 -> i:c
                        2 -> i:i:c
                        _ -> c
                    ) 
              [] 
              (zip col [0..])  in
    AdjMap ((ix, conns) : xs)

adjMatToMap :: [[Int]] -> AdjMap Int
adjMatToMap cols = foldl 
  (\adjMap@(AdjMap nodes) col -> addAdjColToMap (length nodes) col adjMap)
  (AdjMap [])
  cols

-- | a graph's canonical form : http://mfukar.github.io/2015/09/30/haskellxiii.html
-- very expensive algo, of course
canon :: (Ord a, Enum a, Show a) => AdjMap a -> String
canon (AdjMap g) = minimum $ map f $ Data.List.permutations [1..(length g)]
   where
      -- Graph vertices:
      vs = map fst g
      -- Find, via brute force on all possible orderings (permutations) of vs,
      -- a mapping of vs to [1..(length g)] which is minimal.
      -- For example, map [1, 5, 6, 7] to [1, 2, 3, 4].
      -- Minimal is defined lexicographically, since `f` returns strings:
      f p = let n = zip vs p
            in (show [(snd x, sort id $ map (\x -> snd $ head $ snd $ break ((==) x . fst) n)
                                      $ snd $ take_edge g x)
                     | x <- sort snd n])
      -- Sort elements of N in ascending order of (map f N):
      sort f n = foldr (\x xs -> let (lt, gt) = break ((<) (f x) . f) xs
                                  in lt ++ [x] ++ gt) [] n
      -- Get the first entry from the adjacency list G that starts from the given node X
      -- (actually, the vertex is the first entry of the pair, hence `(fst x)`):
      take_edge g x = head $ dropWhile ((/=) (fst x) . fst) g

-- | all possible matrixes where each node has 2 inputs and arbitrary outs
binaryMatrixes :: Int -> [[[Int]]]
binaryMatrixes size = let columns = binaryInputs size 
                          unfiltered = mapM (const columns) [1..size] in
  fst $ foldl'
  (\(keep, seen) x -> let can = canon . adjMatToMap $ x in
                        (if Set.member can seen 
                         then keep
                         else id $! x : keep
                        , Set.insert can seen))
  ([], Set.fromList [])
  unfiltered

Answer 1

您可以尝试多种方法。我注意到的一件事是，具有多边的循环（彩色循环？）有点不寻常，但可能只需要对现有技术进行改进。

过滤另一个程序的输出

这里明显的候选人当然是nAUTy / trace（http://pallini.di.uniroma1.it/）或类似的（俏皮，幸福等）。根据你想要的方式，它可以像运行nauty（例如）和输出到文件一样简单，然后在列表过滤中读取。

对于较大的 n 值，如果要生成大文件，这可能会成为一个问题。我不确定在你没时间用完之前你是否开始耗尽空间，但仍然如此。可能更好的是在你去的时候生成并测试它们，扔掉候选人。出于您的目的，可能存在用于生成的现有库 - 我发现this one但我不知道它有多好。

使用图形不变量

更有效地列出图表的第一步非常简单，就是使用graph invariants进行过滤。一个显而易见的是degree sequence（图的度数的有序列表）。其他包括周期数，周长等。出于您的目的，您可以使用一些indegree / outdegree序列。

基本思想是使用不变量作为过滤器来避免对同构进行昂贵的检查。您可以存储已生成图形的不变量（列表），并首先根据列表检查新变量。结构的规范形式是一种不变的。

实施算法

遗失了GI算法，包括nauty和朋友使用的算法。但是，它们往往很难！ this answer中给出的描述是一个很好的概述，但当然还有细节。

另请注意，该描述适用于一般图形，而您可能更容易生成图形的特定子类。可能有关于有向图列表（生成）的文件，但我没有检查过。

生成所有独特的有向图，每个节点有2个输入

1 个答案:

过滤另一个程序的输出

使用图形不变量

实施算法