Question

这是2015年ICPC西北规划竞赛的问题之一，我想知道是否有更简单或更有效的方法。

问题在于：

“弗雷德喜欢穿不匹配的袜子。这有时意味着他必须提前计划。假设他的袜子抽屉有一个红色，一个蓝色和两个绿色袜子。如果他穿了蓝色的红色，他穿着匹配的绿色袜子。他把两个放在一起如果他将红色与绿色配对，然后将蓝色与绿色配对则不匹配。鉴于他的袜子抽屉的内容，他可以将多少双不匹配的袜子放在一起？“

以下是一个示例输入：

2017/11/01 04:27:22 [error] 13451#13451: *1 open() "/usr/share/nginx/html/static/img/search.svg" failed (2: No such file or directory), client: 127.0.0.1, server: asknow.local, request: "GET /static/img/search.svg HTTP/1.1", host: "www.asknow.local"

Color 1 -> 4 socks

Color 2 -> 3 socks

Color 3 -> 7 socks

Color 4 -> 11 socks

我正在做的方法是首先将输入读入数组并逐渐对其进行排序。这样我就会在阵列末尾拥有最多的袜子。从这里开始，我基本上比较Color 5 -> 4 socks和arr[i]并获得它们之间的最小值。将其添加到总数中，保存剩余部分，然后重复进入数组的过程。例如，使用示例输入它看起来像这样：

排序数组：arr[i-1]

[3,4,4,7,11] 1:3 socks ---> 1:3 socks ---> 1:0 socks

---> 1:0 socks 2:4 socks ---> 2:4 socks ---> 2:1 socks

---> 2:1 socks 3:4 socks ---> 3:4 socks ---> 3:0 socks

---> 3:0 socks 4:7 socks ---> 4:0 socks ---> 4:0 socks

---> 4:0 socks 5:11 socks ---> 5:4 socks ---> 5:0 socks

---> 5:0 socks总计= 14种不匹配的袜子组合。这似乎太天真了一种方法。有没有人对如何优化它有任何想法？如有必要，我可以发布我的代码。

Answer 1

我认为通过检查不同袜子颜色的所有可能分组到2桩，可以找到最佳解决方案。对于每个这样的分组p可以制作奇数对袜子，其中p是最小桩中的袜子数。您希望分组提供最大p。您可以递归地将所有可能的袜子分组生成为2个桩。

这里有一些Java代码来说明：

public static void main(String[] args)
{
    int[] socks = {3,4,4,7,11};
    System.out.println(count(0, 0, socks, 0));
}

static int count(int a, int b, int[] socks, int i)
{
    if(i == socks.length)
    {
        return Math.min(a, b);
    }

    return Math.max(count(a+socks[i], b,          socks, i+1), 
                    count(a,          b+socks[i], socks, i+1));
}

输出：

Answer 2

“希望在这个时候更正确！”方法

步骤1：检查是否剩下2种或更多颜色。如果没有或者剩下一种颜色你就完成了（找不到更多对）。

步骤2：找到一个具有最低非零数的颜色

步骤3：排除最低计数的颜色（如果所有颜色具有相同的计数）;找到最高计数并确定共享最高计数的颜色数

步骤4：排除最低计数的颜色和最高计数的所有颜色;试图找到第二高的数量。

步骤5a：如果计数第二高，则计算amount_to_pair = min(highest_count - second_highest_count, lowest_count)。

步骤5b：如果没有第二高的计数，请计算amount_to_pair = lowest_count。

步骤6：通过将袜子与具有最低计数的袜子配对，尽可能均匀地使用具有最高计数的颜色（例如，如果有9个红色袜子，20个蓝色袜子和20个绿色，则创建amount_to_pair对袜子;然后创造5对“红色和蓝色”对和4“红色和绿色”对。

第7步：转到第1步。

示例（评论中提到的病理案例）：

初始条件

Color 1 -> 1 socks Color 2 -> 20 socks Color 3 -> 80 socks Color 4 -> 81 socks

第一次迭代：

Color 1 -> 1 socks (lowest non-zero count) Color 2 -> 20 socks Color 3 -> 80 socks (2nd highest count) Color 4 -> 81 socks (highest count) Amount to remove = min(81-80, 1) = 1 Color 1 -> 1-1=0 socks (lowest non-zero count) Color 2 -> 20 socks Color 3 -> 80 socks Color 4 -> 81-1=80 socks (highest count) Results so far: (1 pair of colour 1 and colour 4)

第二次迭代：

Color 1 -> 0 socks Color 2 -> 20 socks (lowest non-zero count) Color 3 -> 80 socks (highest count) Color 4 -> 80 socks (highest count) Amount to remove = 20 Color 1 -> 0 socks Color 2 -> 20-20=0 socks (lowest non-zero count) Color 3 -> 80-(20/2)=70 socks (highest count) Color 4 -> 80-(20-20/2)=70 socks (highest count) Results so far: (1 of colour 1 and colour 4) (10 of colour 2 and colour 3) (10 of colour 2 and colour 4)

第三次迭代：

Color 1 -> 0 socks Color 2 -> 0 socks Color 3 -> 70 socks (lowest non-zero count) Color 4 -> 70 socks (highest count) Amount to remove = 70 Color 1 -> 0 socks Color 2 -> 0 socks Color 3 -> 70-70=0 socks (lowest non-zero count) Color 4 -> 70-70=0 socks (highest count) Results so far: (1 of colour 1 and colour 4) (10 of colour 2 and colour 3) (10 of colour 2 and colour 4) (70 of colour 3 and colour 4)

原始方法

警告：以下方法在各种病理情况下会给出错误的结果（并且已由上述算法更新/替换）。我把它留在这里给出一些评论的背景

开始条件：

Color 1 -> 4 socks Color 2 -> 3 socks Color 3 -> 7 socks Color 4 -> 11 socks Color 5 -> 4 socks

查找最高计数和最低计数;并取消最低计数，以便它不再存在：

Color 1 -> 4 socks Color 3 -> 7 socks Color 4 -> 11-3=8 socks Color 5 -> 4 socks Results so far: (3 of colour 2 and colour 4)

再做一次：

Color 3 -> 7 socks Color 4 -> 8-4=4 socks Color 5 -> 4 socks Results so far: (3 of colour 2 and colour 4) (4 of colour 1 and colour 4)

再做一次：

Color 3 -> 7-4=3 socks Color 5 -> 4 socks Results so far: (3 of colour 2 and colour 4) (4 of colour 1 and colour 4) (4 of colour 4 and colour 3)

再做一次：

Color 5 -> 4-3=1 sock Results so far: (3 of colour 2 and colour 4) (4 of colour 1 and colour 4) (4 of colour 4 and colour 3) (4 of colour 3 and colour 5)

停止，因为只剩下一种颜色。

Answer 3

构建图形数据结构。每个袜子都是顶点。从每个顶点到另一种颜色的所有顶点创建边。

现在找到maximum matching的力量 - 没有公共顶点的边集的大小。

您可以在多项式时间O（V ^ 2 * E）中使用Edmonds algorithm构建最大匹配。似乎该任务的图形将是密集的，因此复杂性倾向于O（V ^ 4）。还存在Micali和Vazirani算法，其复杂性较低（不了解实现硬度）。

如果你的任务本身不需要最大匹配 - 只有边数，那么可以使用基于Tutte矩阵定理的随机Lovasz算法计算该值。（我没有找到简明的英文描述 - 或许术语可能有所不同，俄语中的短文是here）

计算不匹配袜子组合的总数

3 个答案: