问候。我正在尝试近似函数
Log10 [x ^ k0 + k1]，其中.21＆lt; k0＆lt; 21,0 <＆lt; k1＆lt; 〜2000，x是整数＆lt; 2 ^ 14
k0＆amp; k1是常数。出于实际目的，您可以假设k0 = 2.12，k1 = 2660.所需精度为5 * 10 ^ -4相对误差。
这个函数实际上与Log [x]相同，除了0附近，它有很大不同。
我已经提出了一个比简单查找表快1.15倍的SIMD实现，但是如果可能的话我想改进它，我认为由于缺乏有效的指令而非常困难。
我的SIMD实现使用16位定点算法来评估三次多项式（我使用最小二乘拟合）。多项式对不同的输入范围使用不同的系数。有8个范围，范围i跨越（64）2 ^ i到（64）2 ^（i + 1）。 这背后的理性是Log [x]的导数随x快速下降，这意味着多项式将更准确地拟合它，因为多项式非常适合于导数超出某个阶数的函数。
使用单个_mm_shuffle_epi8（）非常有效地完成SIMD表查找。我使用SSE的float到int转换来获得指数和有效数，用于固定点近似。我还将软件流水线化，以获得~1.25倍的加速，因此可能不太可能进行进一步的代码优化。
我问的是，如果在更高的水平上有更高效的近似值？ 例如：
因此消除了处理不同范围（表查找）的需要。我认为的主要问题是添加k1术语会杀死我们所知道和喜爱的所有那些不错的日志属性，这使得它无法实现。或者是吗？
迭代方法？不这么认为，因为log [x]的牛顿方法已经是一个复杂的表达式
利用邻近像素的位置？ - 如果8个输入的范围落在相同的近似范围内，那么我可以查找单个系数，而不是查找每个元素的单独系数。因此，我可以将其用作快速常见的情况，并在不使用时使用较慢的通用代码路径。但是对于我的数据，在该属性占70％的时间之前，范围需要大约2000，这似乎不会使这种方法具有竞争力。
请给我一些意见，特别是如果你是一名应用数学家，即使你说它不能完成。感谢。
答案 0 :(得分：2)
一个观察： 你可以找到x需要多大的表达式作为k0和k1的函数，这样术语x ^ k0在k1中足以支配近似值：
x ^ k0 + k1~ = x ^ k0，允许您近似评估函数
K0 *日志（x）的
这会照顾所有x以上的值。
答案 1 :(得分：2)
您应该能够使用Chebyshev approximation改进最小二乘拟合。 （想法是，你正在寻找一个范围内最坏情况偏差最小的近似;最小二乘代替寻找平方差最小的那个。）我猜这不会产生巨大的差异。对于你的问题，但我不确定 - 希望它可以减少你需要拆分的范围数量。
如果已经快速实现log(x)，则可以计算P(x) * log(x)，其中P（x）是由切比雪夫近似选择的多项式。 （而不是试图将整个函数作为多项式进行近似 - 需要更少的范围减少。）
我在这里是个业余爱好者 - 只是因为没有很多答案而蘸我的脚趾。
答案 2 :(得分：0)
我最近阅读了sRGB模型如何将物理三刺激值压缩为存储的RGB值。
它基本上与我尝试近似的函数非常相似，除了它是明确定义的：
k0 x，x < 0.0031308
k1 x ^ 0.417 - 否则为k2
我被告知Log [x ^ k0 + k1]中的常量加法是使函数的开头更加线性。但是，通过分段近似可以很容易地实现这一点。这将使近似更加“均匀” - 只有2个近似范围。由于不再需要计算近似范围索引（整数对数）和进行SIMD系数查找，因此计算成本应该更低。
目前，我认为这将是最好的方法，即使它并不精确地逼近函数。困难的部分是提出这种改变并说服人们使用它。