Question

L = {1ⁱ - 1^j = 1^i-j: i-j >= 0, i,j>=0}

我对如何构建跟踪字符串元素减法的语法感到困惑。我不知道如何开始这个并试图使用形式的等效构造

L = {1ⁱ = 1^i-j + 1^j}

任何提示或建议都表示赞赏。

Answer 1

这里有一个提示：总是尝试在括号平衡方面考虑无上下文语言。

考虑以下两种语言：

ab             ()
aabb          (())
aaabbb       ((()))
aaaabbbb    (((())))
...            ...

我们大多数人“看到”第一种语言是重复（其中一些是后跟相同数字的b），第二种语言是嵌套。但是这两种语言的无上下文语法是相同的：

S: ab       S: ()
 | a S b     | ( S )

因为CFG正在使用堆栈自动机进行解析，所以嵌套很自然。第一种语言实际上是一些数字，其后是相同数量的b，反转。当然，一些b和一些b的反转看起来完全一样......直到你绘制了派生树。

因此，请考虑一元加法语：{ 1^i+j = 1ⁱ + 1^j }。

显然，这与{ 1^j+i = 1ⁱ + 1^j }相同（切换添加顺序没有区别）。或者，将添加内容写为简单的连接：{ 1^j 1ⁱ = 1ⁱ + 1^j }。现在，我们可以将对称性分组:(这里的括号是metasymbols来显示分组，而不是语言的一部分）：{ 1^j ( ( 1ⁱ = 1ⁱ ) + ) 1^j }。

导致

L₁ → =
L₁ → 1 L₁ 1
L₂ → L₁ +
L₂ → 1 L₂ 1

在CFG中，添加有点模糊，但很明显发生了什么：我们允许在=的两边使用相同数量的1的句子，只有一个{{ 1}}被插入右侧的任何地方。（通过非常简单的语法更改，我们可以允许多个+符号，使语法接受带有多个加数的加法方程式。）

Answer 2

每当我看到这些问题时，我会尝试考虑语言中最小的字符串然后规则来获得更大的字符串。如果我们允许- =，则此语言中的最小字符串可能为i - j, i, j = 0;我可能会质疑这是否可以被认为是一元中0 - 0 = 0的正确编码，但我离题了。如果您需要i - j, i, j > 0并将11 - 1 = 1视为您语言中最短的字符串，则以下推导同样有效。我们如何在语言中获得更长的字符串？

首先，请注意我们可以将1添加到字符串的开头和结尾，并使用该语言获取另一个字符串：- =是一个字符串，1 - = 1，{ {1}}，...，11 - = 11。这表明我们会有1^n - = 1^n和S -> 1S1等规则。

其次，请注意，如果我们将S -> T和1^i - 1^j分别增加1，则差异i将保持不变。因此，如果j是我们的语言，那么1^i - 1^j = 1^(i+j)也是如此。显然，我们需要一条规则，允许我们在1^(i+1) - 1^(j+1) = 1^(i+j)和1之间放置一些-，因为我们还没有。{1}}。这一观察结果表明，当我们这样做时，我们必须在=之前放置一个。我们可能会猜测一个好的规则是-。

到目前为止考虑到我们的语法，我们有：

T -> 1T1 | -

这给了我们S -> 1T1 | T T -> 1T1 | -。这实际上非常接近，但我们缺少1^s 1^t - 1^t 1^s。我们认为它需要在=之后，事实上，我们可以将它添加到生产T中以获取

S -> T

这给了我们S -> 1S1 | T = S -> 1T1 | -。由于我们在1^s 1^t - 1^t = 1^s的右侧有i = s + t，j = t和i - j = s + t - t = s，因此语法应该只生成语言中的字符串。但它是否会生成语言中的所有字符串？我们可以通过数学归纳来确定字符串中=的数量。在我们开始之前，请注意1的数量必须始终是偶数，因为如果1 s的一个或全部三个字符串具有奇数长度，则等式永远不会成立，并且这些是1的总数可能是奇数的唯一情况。

基本案例：1中只有一个字符串没有L，即1，它由- =派生。

归纳假设：假设语法生成S -> T = -> - =中L个k个1个实例的所有字符串。

归纳步骤：我们需要显示包含k + 2的任何字符串（请记住，1中任何字符串中L的数量必须是我们之前观察到的1个{可以通过语法生成{1}}。我们的字符串可以写成1^a - 1^b = 1^c，其中a + b + c = k + 2，a - b = c c <= a和b <= a必须为真。如果a = b和c = 0，那么k中的a' = a - 1和b' = b - 1字符串长度为L;通过归纳假设，它是由语法生成的，通过检查，我们看到我们可以在导出中插入T -> 1T1的另一个应用程序，然后用T -> -结束它以获取我们的字符串。另一方面，如果a > b为L，则a' = a - 1和c' = c - 1中的字符串较短。通过归纳假设，这是由我们的语法生成的，通过检查，我们看到我们可以在S -> 1S1之前向S -> T =中的k + 2插入额外的应用程序以获取我们的字符串。在这两种情况下，语法都会生成长度为L的字符串，因此$data = request()->except(['_token','id']); DB::table($table)->where('id',$id)->update($data);中的所有字符串都是由语法生成的。

一元减法的无上下文语法建议？

2 个答案: