Question

说你有记录：

Lemma record_difference : forall (e1 e2 : Example),
  e1 <> e2 ->
    (fieldA e1 <> fieldA e2)
    \/
    (fieldB e1 <> fieldB e2).

我们可以证明：

Record

若然，怎么样？

一方面，它看起来是真的，因为e1是由它们的字段绝对定义的。另一方面，我们不知道首先使e2与Record SmallExample := { field : nat }. Lemma record_dif_small : forall (e1 e2 : SmallExample), e1 <> e2 -> field e1 <> field e2. Proof. unfold not; intros; apply H. destruct e1; destruct e2; simpl in H0. f_equal; auto. Qed.不同的是什么，我们应该如何决定要分离哪一方？

作为比较，请注意，如果记录中只有一个字段，我们可以证明相应的引理：

{{1}}

Answer 1

另一方面，在不知道首先使e1与e2不同的是什么的情况下，我们应该如何决定要分析哪一方？

这正是重点：我们需要弄清楚是什么让两种记录都不同。我们可以通过测试fieldA e1 = fieldA e2。

来做到这一点

Require Import Coq.Arith.PeanoNat.

Record Example := {
  fieldA : nat;
  fieldB : nat
}.

Lemma record_difference : forall (e1 e2 : Example),
  e1 <> e2 ->
    (fieldA e1 <> fieldA e2)
    \/
    (fieldB e1 <> fieldB e2).
Proof.
intros [n1 m1] [n2 m2] He1e2; simpl.
destruct (Nat.eq_dec n1 n2) as [en|nen]; try now left.
right. intros em. congruence.
Qed.

这里，Nat.eq_dec是标准库中的一个函数，它允许我们检查两个自然数是否相等：

Nat.eq_dec : forall n m, {n = m} + {n <> m}.

{P} + {~ P}符号表示一种特殊的布尔值，可以在破坏时为您提供P或~ P的证明，具体取决于它所在的一侧。

值得通过这个证据来看看发生了什么。例如，在证明的第三行，执行intros em会导致以下目标。

n1, m1, n2, m2 : nat
He1e2 : {| fieldA := n1; fieldB := m1 |} <> {| fieldA := n2; fieldB := m2 |}
en : n1 = n2
em : m1 = m2
============================
False

如果en和em成立，则两条记录必须相等，与He1e2相矛盾。 congruence策略只是指示Coq试图自己解决这个问题。

修改

有趣的是，如果没有可判定的平等，我们可以获得多远。以下类似的陈述可以简单地证明：

forall (A B : Type) (p1 p2 : A * B),
  p1 = p2 <-> fst p1 = fst p2 /\ snd p1 = snd p2.

通过对立，我们得到了

forall (A B : Type) (p1 p2 : A * B),
  p1 <> p2 <-> ~ (fst p1 = fst p2 /\ snd p1 = snd p2).

在这里，我们在没有可判定性假设的情况下陷入困境。 De Morgan的法律允许我们将右侧转换为~ P \/ ~ Q形式的陈述;然而，他们的证据对可判定性有吸引力，这在Coq的建设性逻辑中通常是不可用的。

Coq：是否有可能证明，如果两个记录不同，那么他们的一个字段是不同的？

1 个答案:

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