合并k个排序大小为n的数组的下界

Question

正如标题所暗示的那样，我想知道合并k个排序大小为n的数组下限的证明是什么？我知道界限是O（kn * log [k]），但这是如何实现的？我尝试比较使用决策树对p元素数组进行排序，但我不知道如何实现此证明。

Answer 1

这很容易证明，尝试以合并排序的方式考虑它。

合并排序大小 K * N 的数组取 O（KN * log（K * N））。

但我们不必达到大小 1 的 leafs ，因为我们知道当数组大小为 N 时它会被排序。为简单起见，我们假设 K 是2的幂。

我们需要多少次除以2才能达到大小为N的叶子？
K 次！

<强>可视化

因此，您有 log（k）步骤，然后必须合并每个步骤 K N ，并且有 log（k）步骤。因此，时间复杂度 O（NK （log（K））

证明：
让我们假设它不是下限，我们可以做得更好。然后，对于任何大小 N * K 的未知数组，我们可以将其拆分为2，直到我们到达大小为 N 的子数组，对每个大小为N的数组进行合并排序在 Nlog（N）时间内以及所有阵列的总数 K * N * log（N）时间。

在对大小为N的K阵列进行排序后，我们必须将它们合并为更大的 N * K 阵列，支付小于 O（NK *（log（K） ），因为我们假设它不是下限。

最后，您排序了一个大小为N * K的未知数组，其复杂度小于 N * K * log（N * K），这在比较模型中是不可能的。
因此，在合并大小为N的K排序数组时，你不能比 O（NK *（log（K））更好。

Answer 2

可能的实施。
让我们创建一个heap data structure来存储按元素排序的(element, arrayIndex)对。然后

1. 将具有相应数组索引的每个数组的第一个元素添加到此堆中。
2. 在每个步骤中，从堆中删除顶部（最低）对p，将p.element添加到结果中，然后将具有下一个元素的对(next, p.arrayIndex)插入堆中具有p.arrayIndex索引的数组（如果它不为空）。

对于跟踪'next'元素，您需要一个带有k索引/指针/迭代器的数组，这些数组指向相应数组的下一个元素。

堆中最多会有k个元素，因此堆的insert / remove操作将具有O(log(k))复杂度。每个元素都将从堆中插入和删除一次。元素数量为n*k。总体复杂度为O(n*k*log(k))。

Answer 3

创建一个大小为k的最小堆，它存储来自每个k数组的下一个项目。每个节点还存储它来自哪个阵列。通过将堆中的min添加到final_sorted_array，然后将值中的下一个元素添加到堆中来创建排序数组。

删除堆的最小值是O（log k）。你有NK元素，所以你做NK次。最终结果：O（NK log k）。