Question

我在矩形容器中最佳放置具有不同尺寸和数量的矩形对象时遇到问题。这个问题可以通过2D bin打包算法完美解决，但只能在空容器上解决。对我来说，几乎总是不是这样。我的容器可以有一个没有物体放置的受限制的地方。 Packing example

当然，我不是第一个遇到这种问题的人，我希望有人已经为此制定了一个很好的解决方案。一切都很好：书籍参考，文章，代码片段等。正式算法优先考虑神经网络和这类事物。

Answer 1

解决这个问题的一种可能方法是使用整数线性编程。有不同的模型，但这里有一个简单的模型（有一点问题，但如果有必要，你可以对此进行改进）。

将问题拆分为主问题和子问题，主问题如下所示：

minimize sum(p)
s.t.
for all i: sum[j] p[j]*count[j,i] >= n[i]
p[i] >= 0 (and integer, don't add this constraint)

其中：

p是决策变量，决定使用特定＆＃34;包装的实例数量＃34;将可用物品放入容器中。显然有太多这些要提前列出，但它们可以动态生成。
count[j,i]是打包j包含项i的次数。
n[i]是我们想要商品i的次数。
约束是>=，因为包装一些额外的物品是可以的，它可以让我们使用更少的不同包装（否则主要问题需要特殊的＆＃34;故意不理想＆＃34;填料能够实现约束）。
如果您正在使用求解器，则不应显式添加整数约束，因为整数解法可能需要在分数解中尚不需要的列。

从每个项目的几个哑包装开始，这样肯定有一些解决方案，尽管它可能很糟糕。您甚至可以将一个项放在容器中，即使不使用求解器来解决子问题也是如此，但是无论如何都必须解决子问题，因此您可以在此处重复使用它。

子问题是找出可以改进主问题的当前解决方案的包装。因此，考虑主问题行C的双重成本（有多种不同的项目）并解决

maximize y.C
s.t.
1) for all i: y[i] <= n[i]
2) for all i: y[i] = sum[j] P[j] if j is a placement of item i
3) for all cells (a,b): sum[j] P[j] (if j covers a,b) <= 1
4) for all existing packings e: e.y <= sum(e) - 1
y >= 0 and integer
P boolean

其中，

y是P选项后面的隐含变量，y[i]是项目i出现在包装中的次数。
P是真正的决策变量，决定是否使用特定项目的特定展示位置。您的示例问题中有62个不同的项目展示位置，包括轮换。
约束1确保打包实际上可以在主问题的整数解决方案中使用（使用太多的项会使相应的变量变为小数或零）。
约束2将y链接到P
约束3确保解决方案是有效的打包，在某种意义上，项目不会相互重叠。
约束4是必要的，以避免重新创建已添加到主问题的列。

如果主要问题是常规线性程序，则不会重新创建列，但它是一个整数程序，并且在分支约束4之后需要明确防止重新创建。例如，在＆＃34; low＆＃34;分支（回想一下，这意味着我们采用了一些具有小数值k并将其限制为f的变量<= ⌊f⌋，子问题尝试做的第一件事就是重新创建与k对应的相同包装，以便可以将其添加到主问题中以撤消损坏＆＃34;。这与我们需要的完全相反。因此必须禁止重新创建列。

约束4不是一个很好的方法，因为现在的子问题将尝试生成所有等效的包，这要归功于对称性。例如，在对该包装的变量进行四舍五入后：