Question

是否有一种有效的方法来计算位数组的可能子序列数？

从左到右读取数组，可能省略一些元素。不允许重复的子序列。

当数组大小增加时，强制执行所有可能的子序列需要很长时间。

Answer 1

这个简单的线性时间算法取自"Algorithms for subsequence combinatorics" by Cees Elzinga et al. (2008)，略有修改，因为数学往往是1索引的，但Python是0索引的。它适用于任何序列s，而不仅仅是二进制序列：

def count_unique_subsequences(s):
    """Returns the number of unique subsequences of the sequence s"""
    L = {} 
    N = []
    count = 1
    for c in s:
        N.append(count)
        count *= 2
        if c in L:
            count -= N[L[c] - 1]
        L[c] = len(N)
    return count

这是一个动态编程解决方案，它迭代地计算当前字符串的每个前缀的唯一子序列的数量。所有这些子序列仍然是下一个前缀的子序列，另外我们可以添加任何用下一个字符扩展的子序列，除了那些上次遇到相同字符时没有扩展的子序列。（因为在那一点上，我们计算了使用该字符扩展的所有子序列。）在此算法中，向量N维护每个连续前缀s的唯一子序列的计数（由长度为{前缀），而L跟踪每个字符最后一次出现的索引。

在考虑了这段代码之后，我意识到N真的是多余的;我们需要它的唯一原因是能够查找对应于当前字符的子序列计数。但我们可以直接将该计数存储到L中，而不是存储第二个表查找的索引。这不会改变算法的时间复杂度（虽然它会略微加快）但它确实将空间复杂度降低到O（|Σ|），其中Σ是字母表。对于二进制序列，这使算法成为线性时间/恒定空间。这是修改后的算法：

def count_unique_subsequences(s):
    """Returns the number of unique subsequences of the sequence s"""
    L = {}
    count = 1
    for c in s:
        adds = count - L.get(c, 0)
        L[c] = count
        count += adds
    return count

如上所述，该函数计算枚举中未出现的空子序列，因此您可能希望从最终结果中减去一个。

在许多其他有趣的结果中，Elzinga论文还考虑了给定大小的字母表的最大唯一子序列计数，证明最大计数是广义Fibonacci序列。对于字母大小2，最大计数可以计算为：

max_count(0) = 1
max_count(1) = 2
max_count(n) = max_count(n - 2) + max_count(n - 1) + 1

是fibonacci(n+2)-1。

生成最大模式的字符串由循环重复的字母组成。

因此，实际上列举所有唯一子序列必须采用指数时间，因为（可能）存在指数数量的此类序列。但是，指数（对于二进制序列）是φ，小于2。

二进制数组的唯一子序列

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