计算点的面积

Question

我无法在Google中找到好的答案，或者我可能只是错过了正确的关键词。欢迎任何帮助或建议！

我的问题如下： 我想计算某个点云覆盖的区域（2D）。我知道从数学上讲，该区域为0，但我只能从正确的分布中取出样本点。另外，我没有关于点云边界的任何信息，每个形状都是可能的，包括孔等。所以使用流形边界的算法不起作用？！

由于我正在使用的函数是平滑的，我可以假设点之间的空间也属于我想要计算的区域。

目前，我将空间划分为许多小方块，并计算用一个或多个点填充多少个方框。计数乘以盒子大小给我一个区域。

对此有更优雅的解决方案吗？有什么想法吗？

由于 托马斯

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编辑：

我所做的是将高维点投影到低维嵌入。我可以确定高维空间中的点数，因此也可以确定低维空间中形成我想要计算的区域的点数。如果我增加点数就会发现它们位于“旧”点之间，这就是我所说的平滑点。鉴于某一点，我可以假设在该点周围的某个附近，如果我采样更密集，我将能够找到属于该区域的新点。

此外，我有一个阈值，我可以认为两个点是“相等的”，换句话说，我知道我想要实现哪个结果。

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编辑2：

我使用GPLVM来执行从高维空间到低维空间的映射。所以我认为直接分析是两个困难/不可能。它们不是很直观，我认为在这种情况下直接使用二维点更容易......

Answer 1

一种选择是找到您的点集的凸包，即包含所有点的凸多边形。获得多边形后，您就可以找到所覆盖的区域。

当然，这不会处理您的基础分布有漏洞的情况，在这种情况下，我想不出比您的盒子铺设变体更好的解决方案。

Answer 2

有一种简单的统计方法（参见Tuomi和Larjavaara，QJR Meteorol.Soc。（2005）131，p.1191，附录）。合理规则的一组点（例如雷电下的雷击）的代表区域是A = 12 Sx Sy sqrt（1 - R2）。标准偏差Sx和Sy（乘以常数）定义一个矩形，相关因子（R是相关系数）表示矩形有多大部分被点有效覆盖。这个结果不是高数学，但在实践中很有效，例如，估计细胞的闪电密度。 - 托米

Answer 3

您需要在此处提供更多关于区域含义的定义。如果 all 填充了点之间的空间，则只需对边界点进行采样并计算多边形的面积。但是，如果您可以对完整分布进行采样并确定位置是在填充区域还是空白区域，那么您的方法更有意义。

我无法看到底层分布是如何平滑变化的 - 无论是否填充了一个点，看起来都是如此。但是，如果您正在对密度分布进行采样，其中每个位置都存在可变密度，那么您实际上是在执行区域积分或正交，有很多方法可以近似分析基础分布。分析函数。

如果基础分布不连续（平滑变化）但是离散，那么您实际上是在找到分形区域。为此，您需要通过您的方法多次评估该区域以获得越来越精细的网格，直到值停止变化。对于分形，值永远不会停止变化，但对于有限数据集，它最终会停止。