Question

来源：Facebook Hacker Cup Qualification Round 2011

在街机游戏中，您可以从您选择的位置玩一个简单的游戏，其中一个球落入游戏的顶部。当球落入游戏时，球会弹出许多钉子。每当球击中一个钉子时，它将以0.5的概率反弹到左边，并以0.5的概率向右反弹。唯一的例外是当它击中最左侧或右侧的钉子时，在这种情况下它总是向中间弹跳。

当游戏首次制作时，钉子以规则网格排列。然而，这是一个老游戏，现在一些钉子丢失了。你在游戏中的目标是让球在特定位置脱离游戏的底部。鉴于游戏的安排，我们如何确定丢球的最佳位置，以便将其送到这个特定位置的概率最大化？

下图显示了一个包含五行五列的游戏示例。请注意，顶行有五个钉，下一行有四个钉，接下来五个，依此类推。有五个列，有四种选择可以将球放入（从0开始索引）。请注意，在此示例中，缺少三个挂钩。第一行是第0行，最左边的第二行是第0列，因此缺失钉的坐标是（1,1），（2,1）和（3,2）。在这个例子中，丢球的最佳位置是在第0列的最左侧，这使得它有50％的几率在目标中结束。

x.x.x.x.x
 x...x.x
x...x.x.x
 x.x...x
x.x.x.x.x
 G

x表示挂钩，.表示空格。

Answer 1

从底部开始，为目标指定1的概率，为其他位置指定0的概率。然后对于下一行，按如下方式分配概率：

1) if there is no peg, use the probability directly below.
2) for a peg, use the average of the probabilities in the adjacent columns one row down.

这将简单地将概率传播到顶部，其中每个槽将被分配从该槽到达目标的概率。没有树，没有递归。

Answer 2

我们可以使用概率论来解决这个问题。我们将球放在一个位置，并递归地将球的路径分成一个（在侧壁）或两个可能的方向。在第一步，我们以概率1知道球的位置（毕竟我们正在放弃它！）。在随后分成两个方向时，概率减半。如果我们最终位于目标位置的底行，我们将路径的概率添加到总计。对所有起始位置重复此过程，并达到达到目标的最高概率。

我们可以通过使用动态编程去除递归和逐行处理来改进此算法。从设置为全0的第一行开始，除了我们设置为1的起始位置。然后通过从0和0的数组开始计算到达下一行中每个单元的概率。对于当前行中的每个单元格，将其概率的一半加到下一行的左侧单元格中，将其一半加到右侧，除非它靠近侧壁，在这种情况下我们将完全概率添加到单个单元格。继续为每一行执行此操作，直到到达最后一行。

到目前为止，我们忽略了失踪的钉子。我们可以通过对每个单元格具有三个概率来考虑它们：一个球体当前行进的每个方向。最后，我们总结所有因为方向无关紧要。

Answer 3

这个问题出现在2011年的Facebook黑客杯中。

marcog解决方案似乎是正确的，但我解决了一点不同。我这样解决了：

设置板：读取输入，设置NxM板，读取缺失的钉并在板上插入孔。
对于每个可能的初始丢弃孔，按照以下步骤执行BFS：
- 掉落洞的初始概率为1.0。
- 从当前状态开始，您可以向下，向左，向右，向左和向右移动。
- 如果您只能向下，向左或向右移动，请将当前状态概率相加，并将其添加到队列中（如果它尚未在队列中）。例如：如果你在概率为0.5的（1,2）并且只能下降，则将0.5加到状态（2,2）并将其添加到队列中（如果它已经不在队列中）。
- 如果您可以向左和向右移动，则将当前状态概率的一半加到每个可能的下一个状态，如果它们尚未存在，则将它们添加到队列中。例如：如果你处于（3,3），概率为0.5并且可以左右两次，则将0.25添加到（4,2）和0.25到（4,4）并将它们添加到队列中（如果它们尚未存在）。
最新更新
打印全球最佳。

我在cpp中的解决方案（不是最干净的代码）可以从以下网址下载：https://github.com/piva/Programming-Challenges/blob/master/peggame.cpp

希望有帮助...

Answer 4

观察：

对于给定的起始位置，每行都有概率分布
从一个完整行到下一行，除边缘外，分布将简单模糊。
如果有漏洞，我们会看到（2）
我们可以将这些偏差分开，因为球一次一个地掉落，所以概率遵循叠加原则（量子计算机在这里是理想的）。
分离出偏差，我们可以看到实际上有一组孔叠在一个钉子的网格上，所以我们可以先从整套钉子中计算出来的分布（简单），然后分别通过钉子来计算看到它们的效果 - 这假设有更多的钉子而不是孔！
边缘实际上是一面镜子 - 我们可以计算这些镜像虚拟板的无限数组，而不是使用if条件作为边界。

所以我会从底部开始，处于理想的位置，然后分散概率。缺失的钉子实际上只是跳过一排，所以你保留一个垂直落球的记录。

理想情况下，我会从一个完整的（斐波那契）树开始，并且对于每一行中缺失的钉子，会增加它们缺失的效果。

Answer 5

O(R*C)解决方案

dp[i][j]给出球到达目标位置的概率，如果它当前位于第i行和第j行。

基本案例有dp[R-1][goal] = 1.0，第R-1行的所有其他广告位都有0.0

然后重现

dp[i][j] = dp[i + 2][j] if the peg below is missing 
dp[i][j] = dp[i + 1][left] if the peg is on the right wall 
dp[i][j] = dp[i + 1][right] if the peg is on the left wall 
dp[i][j] = (dp[i + 1][left] + dp[i + 1][right]) / 2 otherwise

Peg Game：放置球的最佳位置，使其落在目标细胞中

5 个答案: