SICP：为什么这种基于递归的正弦近似有效？

时间：2017-10-01 01:37:14

标签： recursion trigonometry sicp

Here是计算机程序的结构和解释＆＃39;的问题和解决方案。练习1.15（see here）。我的问题是，我不知道这些公式的组合实际上是如何工作的：

enter image description here

和

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表示小x弧度值。

我理解这样的想法，即弧度角越接近零，它越接近该角度的正弦。我见过很好的解释（麻省理工学院开放式课程，可汗学院）。我也弄清楚了

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公式得出。但他们如何一起使用来得出sin(x)的答案？ p函数似乎只是将每个递归传递的可变角度除以3，直到angle低于0.1然后在回来的路上，我们执行{{1}我们不得不除以p的次数。所以似乎

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神奇地变得与

相同

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通过递归申请。怎么样？我对递归理论并不十分精通。此外，如果这是以对数方式接近3，那么就好像我们总计了许多小0.1的整合。这似乎做了一些像Y-combinator一样模糊的东西 - 我也不太了解它。

另外，当我们看到递归步骤（递归）重复将x除以$ 3 $时，最终会告诉你这是对数吗？我的意思是，看起来它在每个部门都取得了巨大的数量级跳跃，但还有另一种分析方法可以称之为对数减少吗？

1 个答案:

答案 0 :(得分：2)

首先要指出的是，enter image description here并不完全准确，因为x只是一个近似值。正确的符号是 enter image description here。这看似有点挑剔，但很重要，因为这可以解释书中给出的正弦的练习和定义。

将sin(x) = 3sin(x/3) - 4sin^3(x/3)和enter image description here组合在一起的方法是在正弦过程的定义中。这个想法是，我们希望根据x的值返回近似值或第二个公式（sin(x) = 3sin(x/3) - 4sin^3(x/3)）。

如果x“足够小”，那么我们只返回x作为sin（x）的近似值。但是，如果它不是“足够小”，我们将使用sin(x) = 3sin(x/3) - 4sin^3(x/3)。因为这是平等的，所以这显然很好。直到您注意到sin（x / 3）较小，因此可能可能“足够小”，这似乎没有必要。这就是为什么该过程是递归的，我们将继续这样做，直到sine的参数“足够小”为止。

您的困惑似乎在这里：

因此，看来enter image description here变得与enter image description here一样神奇。

情况并非如此。这有点棘手，因为(define (p x) (- (* 3 x) (* (4 (cube x))))不包含任何正弦，但是请记住，此定义中的x只是局部变量。但是，如果我们看一下正弦过程定义的最后一行，我们可以看到我们实际上正在调用(p (sin (/ angle 3.0)))))，因此正弦位于p调用的参数中。

递归的步数是对数的，原因是调用p过程的次数大约是必须将角度除以3.0才能获得的次数小于0.1的值。如果角度为大数，则该值接近1。因此，我们将不得不调用p直到angle /（3.0 ^ n）<0.1近似于n，以使3.0 ^ n>近似于enter image description here

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