Question

在Coq Tutorial，第1.3.1和1.3.2节中，有两个elim个应用程序：第一个：

1 subgoal

  A : Prop
  B : Prop
  C : Prop
  H : A /\ B
  ============================
   B /\ A

申请elim H后，

Coq < elim H.
1 subgoal

  A : Prop
  B : Prop
  C : Prop
  H : A /\ B
  ============================
   A -> B -> B /\ A

第二个：

1 subgoal

  H : A \/ B
  ============================
   B \/ A

应用elim H后，

Coq < elim H.
2 subgoals

  H : A \/ B
  ============================
   A -> B \/ A

subgoal 2 is:
 B -> B \/ A

有三个问题。首先，在第二个例子中，我不明白什么推理规则（或逻辑身份）应用于生成两个子目标的目标。不过，第一个例子对我来说很清楚。

第二个问题，根据Coq的手册，elim与归纳类型有关。因此，似乎elim根本不适用于此，因为我觉得这两个例子中没有归纳类型（原谅我不知道归纳类型的定义）。为什么elim可以在这里应用？

第三，elim一般做什么？这里的两个示例没有显示elim的常见模式。官方手册似乎是为非常高级的用户设计的，因为他们根据更多术语定义的其他几个术语来定义术语，并且他们的语言含糊不清。

非常感谢您的回答！

Answer 1

Jian，首先请注意，本手册是开源的，可在https://github.com/coq/coq获取;如果您认为可以改进措辞/定义顺序，请在那里打开一个问题或随时提交拉取请求。

关于您的问题，我认为您可以阅读更全面的Coq介绍，例如“Coq'art”，“Software Foundations”或“Programs and Proofs”等。

特别是，elim策略试图对特定类型应用所谓的“消除原则”。它被称为消除，因为在某种意义上，该规则允许您“摆脱”该特定对象，允许您继续进行证明[我建议阅读Dummett以进一步讨论逻辑连接词的起源]

特别是，∨连词的消除规则通常由逻辑学家编写如下：

          A   B
          ⋮  ⋮
 A ∨ B    C   C
────────────────
       C

也就是说，如果我们可以独立于C和A派生B，那么我们可以从A ∨ B派生出来。这看起来很明显，不是吗？

回到Coq，事实证明，由于“Curry-Howard-Kolmogorov”等价，这条规则具有计算解释。事实上，Coq没有提供大多数标准逻辑连接词作为内置，但它允许我们通过“归纳”数据类型定义它们，类似于Haskell或OCaml中的那些。

特别是，∨的定义是：

Inductive or (A B : Prop) : Prop :=
  | or_introl : A -> A \/ B
  | or_intror : B -> A \/ B

也就是说，or A B是包含A或B的数据，以及“标记”，可让我们“匹配”到知道我们真正拥有哪一个。

现在，“消除原则为或”有类型：

or_ind : forall A B P : Prop, (A -> P) -> (B -> P) -> A \/ B -> P

Coq的伟大之处在于，这样的原则不是“内置”，只是一个常规程序！想想，你能编写or_ind函数的代码吗？我会给你一个提示：

Definition or_ind A B P (hA : A -> P) (hB : B -> P) (orW : A ‌\/ B) :=
  match orW with
  | or_introl aW => ?
  | or_intror bW => ?
  end.

一旦定义了这个函数，elim所做的就是应用它，正确地实例化变量P。

练习：使用apply和ord_ind代替elim解决您的第二个示例。祝你好运！