所以我对四元数很新，但我理解如何用它们操作东西的基础知识。我目前要做的是将已知的四元数与空间中的两个绝对点进行比较。我希望我能做的只是将点转换成第二个四元数，让我有一个简单的方法来比较两者。
到目前为止，我所做的是将这两个点转换为单位向量。从那里我希望我可以直接将i j k插入四元数的虚部，标量为零。从那里我可以将一个四元数乘以另一个四元数，得到第三个四元数。第三个四元数可以转换为轴角度，给出原始两个四元数相差的程度。
这个思维过程是否正确？所以它应该只是[0 i j k]。之后我可能需要对四元数进行标准化，但我不确定。
我有一种不好的感觉，它不是从向量到四元数的直接映射。我试着将单位矢量转换为轴角度，但我不确定这会起作用，因为我不知道将什么角度作为输入。
答案 0 :(得分：1)
<强>符号
四元数在四个空间中定义，基数为{1，i，j，k}。汉密尔顿将这种基本关系刻画成都柏林Brougham桥的石头：
i 2 = j 2 = k 2 = i j k = -1。
有许多等效的四元数参数化，但在这里我将使用{标量，向量}形式。
1。）A = {a0， a }，B = {b0， b }，其中A和B是四元数，a0和b0是标量， a 和 b 是三向量。
2.）X = {0， x }是向量四元数。
3.）（非交换）四元数乘积直接来自上面的i，j和k的属性，A⊗B= {a0 b0 - a 。 b ，a0 b + b0 a + a x b }
4.。）四元数共轭是A * = {a0， - a }
5.）四元数产品的共轭物是反义词的相反产物。
（A⊗B） * = B * ⊗A *
6。）矢量四元数的共轭是负的。 X * = {0， - x } = -X
7。）四元数范数是| A | =√（A⊗A * ）=√（a0²+ a 。 a ）
8。）单位四元数是一个标准为1的单位。
9.）单位三向量 x = {x 1 ，x 2 ，x 3 } x 。 x = 1可表示为单位向量四元数 X = {0， x }，| X | = 1。
10。）四元数矢量X的球面旋转是一个关于单位矢量轴 n 的角度θ是Q⊗X⊗Q * ， 其中Q是四元数{cos（θ/ 2），sin（θ/ 2） n }。注意| Q | = 1。
注意四元数向量积的形式。给定向量四元数X 1 = {0， x 1 ）和X 2 = {0， x 2 }，四元数乘积为X 2 ⊗X 1 * = { x 1 。 x 2 ， x 1 ×< strong> x 2 }。四元数将点积重新作为标量部分，并将交叉积作为矢量部分，在一百多年前离婚。这些产品都不是可逆的，但四元数的方式如下所述。
<强>反演
找到球形变换四元数Q 12 以旋转矢量X 1 以与矢量X 2 对齐。
从上面
X 2 = Q 12 ⊗X 1 ⊗Q 12 *
将双方乘以X 1 * ，
X 2 ⊗X 1 * = Q 12 ⊗X 1 ⊗（Q <子> 12 * ⊗X<子> 1 * ）
请记住，旋转轴 n 来自叉积 x 1 × x 2 ，所以 n 。 x 1 = 0.且Q * ⊗X * =（X⊗Q） * < / sup> = X * ⊗Q，离开
X 2 ⊗X 1 * = Q 12 ⊗X 1 ⊗X 1 * ⊗Q 12 = Q 12 ⊗Q 12
因此，四元数变换可以直接解决为
Q 12 =√（X 2 ⊗X 1 * ）
您可以自己选择四元数平方根。有很多方法可以做到，最好的将取决于你的应用，考虑速度和稳定性。
- HTH，
弗雷德克林格纳