Question

我正试图在尾数中以11位精度实现快速atan2（float）。 atan2实现将用于图像处理。因此，最好使用SIMD指令（impl定位x86（带SSE2）和ARM（带vpfv4 NEON））。

目前，我使用chebyshev多项式逼近（https://jp.mathworks.com/help/fixedpoint/examples/calculate-fixed-point-arctangent.html）。

我愿意手动实现矢量化代码。我将使用SSE2（或更高版本）＆amp; NEON包装器库。我计划或尝试了这些实施选项

矢量化多项式近似
- chebyshev polynomial（现已实施）
标量查找表（+线性插值）
矢量化查找表（这可能吗？我不熟悉NEON，所以我不知道像NEON中的VGATHER一些指示）
矢量化CORDIC方法（这可能很慢，因为它需要12次旋转迭代才能获得11位精度）

其他好主意？

Answer 1

您要检查的第一件事是您的编译器在应用于atan2f (y,x)数组时是否能够向量化float。这通常需要至少一个高优化级别，例如-O3，并可能指定一个宽松的“快速数学”模式，其中errno处理，非正规和特殊输入（如无穷大和NaN）在很大程度上被忽略。使用这种方法，准确度可能远远超过要求，但在性能方面可能很难超越经过仔细调整的库实现。

接下来要尝试的是编写一个具有足够精度的简单标量实现，并让编译器对其进行矢量化。通常这意味着避免除了非常简单的分支之外的任何东西，可以通过if转换将其转换为无分支代码。此类代码的一个示例是下面显示的fast_atan2f()。使用英特尔编译器，调用为icl /O3 /fp:precise /Qvec_report=2 my_atan2f.c，成功向量化：my_atan2f.c(67): (col. 9) remark: LOOP WAS VECTORIZED.通过反汇编双重检查生成的代码，显示fast_atan2f()已使用{{1的SSE指令进行内联和向量化味道。

如果所有其他方法都失败了，您可以手动将*ps的代码转换为特定于平台的SIMD内在函数，这应该不是那么难。我没有足够的经验来快速做到这一点。

我在这段代码中使用了一个非常简单的算法，这是一个简单的参数约简，在[0,1]中产生一个简化的参数，然后是一个minimax多项式逼近，最后一步将结果映射回完整圈。使用Remez算法生成核近似，并使用二阶Horner方案进行评估。可以在可用的情况下使用融合乘法（FMA）。出于性能原因，不处理涉及无穷大，NaN或fast_atan2()的特殊情况。

0/0

上述程序的输出应类似于以下内容：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

/* maximum relative error about 3.6e-5 */
float fast_atan2f (float y, float x)
{
    float a, r, s, t, c, q, ax, ay, mx, mn;
    ax = fabsf (x);
    ay = fabsf (y);
    mx = fmaxf (ay, ax);
    mn = fminf (ay, ax);
    a = mn / mx;
    /* Minimax polynomial approximation to atan(a) on [0,1] */
    s = a * a;
    c = s * a;
    q = s * s;
    r =  0.024840285f * q + 0.18681418f;
    t = -0.094097948f * q - 0.33213072f;
    r = r * s + t;
    r = r * c + a;
    /* Map to full circle */
    if (ay > ax) r = 1.57079637f - r;
    if (x <   0) r = 3.14159274f - r;
    if (y <   0) r = -r;
    return r;
}

/* Fixes via: Greg Rose, KISS: A Bit Too Simple. http://eprint.iacr.org/2011/007 */
static unsigned int z=362436069,w=521288629,jsr=362436069,jcong=123456789;
#define znew (z=36969*(z&0xffff)+(z>>16))
#define wnew (w=18000*(w&0xffff)+(w>>16))
#define MWC  ((znew<<16)+wnew)
#define SHR3 (jsr^=(jsr<<13),jsr^=(jsr>>17),jsr^=(jsr<<5)) /* 2^32-1 */
#define CONG (jcong=69069*jcong+13579)                     /* 2^32 */
#define KISS ((MWC^CONG)+SHR3)

float rand_float(void)
{
    volatile union {
        float f;
        unsigned int i;
    } cvt;
    do {
        cvt.i = KISS;
    } while (isnan(cvt.f) || isinf (cvt.f) || (fabsf (cvt.f) < powf (2.0f, -126)));
    return cvt.f;
}

int main (void)
{
    const int N = 10000;
    const int M = 100000;
    float ref, relerr, maxrelerr = 0.0f;
    float arga[N], argb[N], res[N];
    int i, j;

    printf ("testing atan2() with %d test vectors\n", N*M);

    for (j = 0; j < M; j++) {
        for (i = 0; i < N; i++) {
            arga[i] = rand_float();
            argb[i] = rand_float();
        }

        // This loop should be vectorized
        for (i = 0; i < N; i++) {
            res[i] = fast_atan2f (argb[i], arga[i]);
        }

        for (i = 0; i < N; i++) {
            ref = (float) atan2 ((double)argb[i], (double)arga[i]);
            relerr = (res[i] - ref) / ref;
            if ((fabsf (relerr) > maxrelerr) && 
                (fabsf (ref) >= powf (2.0f, -126))) { // result not denormal
                maxrelerr = fabsf (relerr);
            }
        }
    };

    printf ("max rel err = % 15.8e\n\n", maxrelerr);

    printf ("atan2(1,0)  = % 15.8e\n", fast_atan2f(1,0));
    printf ("atan2(-1,0) = % 15.8e\n", fast_atan2f(-1,0));
    printf ("atan2(0,1)  = % 15.8e\n", fast_atan2f(0,1));
    printf ("atan2(0,-1) = % 15.8e\n", fast_atan2f(0,-1));
    return EXIT_SUCCESS;
}

在x86（带SSE2）和ARM（带有vfpv4 NEON）的尾数中具有11位的atan2近似

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