Question

这是一个3*5矩阵，有2个自由变量。我不知道这是否是在MATLAB中解决这个问题的最佳方法。但它不起作用并输出Empty sym: 0-by-1

clear x_1 x_2 x_3 x_4 x_5
syms x_1 x_2 x_3 x_4 x_5

eqn1 = x_1+0*x_2+3*x_3+2*x_4-4*x_5==4 ;
eqn2 = 2*x_1+x_2+6*x_3+5*x_4+0*x_5==7 ;
eqn3 = -x_1+x_2-3*x_3-x_4+x_5==-5 ;

tic ;

res = solve([eqn1,eqn2,eqn3]) ;

toc ;

Answer 1

对于简单的线性方程组，您不需要符号数学工具箱。您最好使用mldivide，这很常见，因为它有速记\。

对于系统Ax = b，其中x是x值的向量，A是系数矩阵，b是他们的产品（右侧）你的系统），你可以通过

来解决它

x = A\b;

所以

A = [1  0  3  2 -4; 
     2  1  6  5  0; 
    -1  1 -3 -1  1];

b = [4; 7; -5];

x = A\b
>> ans = [0; 0; 2; -1; 0];

您可以手动检查此结果（x3=2, x4=-1, x1=x2=x5=0）是否有效。

Answer 2

使用QR或LU分解

>> [l,u] = lu(A)

l =

          0.5     -0.33333            1
            1            0            0
         -0.5            1            0


u =

            2            1            6            5            0
            0          1.5            0          1.5            1
            0            0            0            0      -3.6667

>> c = l\b

c =

            7
         -1.5
            0

然后切换到Uy = L\b = c问题。现在你有，

[2            1            6            5            0][x1]   [ 7  ]
[0          1.5            0          1.5            1][x2] = [-1.5]
[0            0            0            0      -3.6667][x3]   [ 0  ]
                                                       [x4]
                                                       [x5]

最后一个删除x5，因此删除第3行/第5列。然后，您可以检查解空间。

Answer 3

假设A是m-by-n矩阵，b是n维向量。您希望在A x = b的情况下了解m<n的所有解决方案，并表示如下：

x = x_0 + K y，..（1）

其中x_0是原始等式的任意解，A x = b，K是n - by - (n-m)矩阵，其列构成基础A的零空间（也称为内核），y是任意(n-m)维向量。此y对应于您所说的“自由参数”。

让我更多地解释矩阵K。矩阵A的零空间是一组向量v，使A v = 0。这组v实际上是(n-m)维度的向量空间，任何v都可以表示为(n-m)向量的线性组合k_1， ..，k_{n-m}，它们彼此线性相关并且满足A k_i = 0（i=1,..,n-m）。 k_1,..,k_{n-m}的选择并不是唯一的。

您可以替换eq。（1）到A x =b验证它确实是解决方案，因为A K = 0。术语K y表示所有向量v，使A v=0。

找到矩阵K的一种方法是奇异值分解，

A V = U S，

其中V和U分别为n - by - n和m - by - m正交矩阵，{ {1}}是一个S - by - m对角矩阵，如

由于S = [s_1 0 0 0 0 ] [ 0 s_2 0 0 0 ] [ 0 0 s_3 0 0 ]的最后(n-m)列是零向量，因此产品S的最后(n-m)列也是零向量。这意味着，如果我们从左侧乘以U S，则(n-m)的最后V列将产生零向量。因此，A的这些列属于V的空格。由于它们是线性无关的（因为A是正交矩阵），它们构成零空间的基础。因此，我们可以将V设置为奇异值分解中找到的K的最后(n-m)列。

我不知道如何在Matlab中进行奇异值分解，但必须有一个函数。

用自由变量MATLAB求解线性方程组

3 个答案: