Question

问题

我有一个三维矢量场。矢量的每个方向我必须单独采样，因此三个网格在测量区域内略微不对齐（样本移动，而不是测量网格）。

当我重新对齐测量时，我的矢量分量不再相互正交，因为每个矢量分量都有不同的变换。因为重新排列也有翻译，我认为每个样本点的旋转略有不同。基本上我想旋转我的采样点，但保持我的矢量方向，并确保它们是正交的。

问题

我如何正确＆＃39;取消旋转＆＃39;我的载体？

示例

示例MatLab代码（请注意，在我的实际数据中，我只想在MatLab中执行修正，我不在MatLab中执行转换，只是创建假数据来举例）：

n1=10; n2=10; n3=10; %10x10x10 samples for each direction / vector component measurement
sig=5; %smoothness of measured vector field
vec = struct; A = struct; %define structs
%define measurement grid
[vec(1).X,vec(2).X,vec(3).X] = ndgrid(1:n1,1:n2,1:n3); figure; 
for itrans = 1:3
    vec(itrans).x = imgaussfilt3(rand(n1,n2,n3), sig);%make random smooth vector field
    t = rand(1,3); %random translations
    r = rand(1,3)*2*pi/50; %random pitch roll yaw
    %seperate rotation matrices
    R1 = [1,         0,         0;...
          0, cos(r(1)), sin(r(1));...
          0,-sin(r(1)), cos(r(1))];
    R2 = [cos(r(2)), 0,-sin(r(2));...
                  0, 1,         0;...
          sin(r(2)), 0, cos(r(2))];
    R3 = [cos(r(3)), sin(r(3)), 0;...
         -sin(r(3)), cos(r(3)), 0;...
                  0,         0, 1];
    %make affine component matrices
    T = eye(4); T(1,4) = t(1); T(2,4) = t(2); T(3,4) = t(3);%make translation matrix
    R = R1*R2*R3; R(4,4) = 1;%combine rotations
    S = eye(4); %no skew or scaling
    %compose affine transformation
    A(itrans).mat = T*R*S;

    %apply transformation to coordinates and plot alignment
    X = [vec(1).X(:)'; vec(2).X(:)'; vec(3).X(:)';ones(1,numel(vec(3).X))]; XX = A(itrans).mat*X;
    subplot(1,3,itrans); scatter3(vec(1).X(:),vec(2).X(:),vec(3).X(:)); hold on; title('displacement measurement 3'); scatter3(XX(1,:)',XX(2,:)',XX(3,:)', 'r'); legend('original', 'displaced')
end
%apply tranformation to data
for itrans = 1:3
    vec(itrans).xtrans = interp3(vec(itrans).x ,XX(1,:)',XX(2,:)',XX(3,:)','cubic',0);
end
%plot new vectors
figure; subplot(1,2,1); quiver3(vec(1).X,vec(2).X,vec(3).X,vec(1).x,vec(2).x,vec(3).x); title('original field')
subplot(1,2,2); quiver3(vec(1).X,vec(2).X,vec(3).X,vec(1).xtrans,vec(2).xtrans,vec(3).xtrans); legend('displaced field')

三个重新排列的坐标，矢量场的每个分量都经过了翻译和略微不同的旋转。

原始场，一个矢量的每个分量在同一位置都没有真正测量过，我通过变换坐标然后插值我的测量来校正。

变换后的场，一个矢量的每个分量不再真正沿着它所代表的轴，并且它们不再相互正交。

尝试用油漆在2d中显示问题。每个箭头显示一个测量组件，每个十字显示一个坐标系。两个蓝色箭头是我测量的两个组成部分，两个灰色箭头是我重新调整测量结果后的结果，两个橙色箭头是我需要的，以某种方式“旋转”＆＃39;并结合它们。

Answer 1

这不是一个非常完整的答案，它可能不是一个值得投票的答案;但是，在给出答案的时候，没有其他人，所以我最好发布我所知道的。

如果你的问题是一个学术问题，那么这将是一个研究生水平的学术矢量代数问题。有人可能已经预制了一个整洁的配方;但是，缺少这样的公式，如果我在你的位置，在旋转之前，我可能会尝试重置常规正交坐标网格上的所有测量。（我最近指导了一个初级电磁学课程，在这个课程中，我让学生做了一些模糊相似但更简单的事情来离散拉普拉斯公式。）在重置之前，需要扩展每个 orthonormal 多维泰勒级数中连续函数的分量，然后将附近的测量值拟合到系列的未确定系数....换句话说，在您之前的分析可能会很痛苦。

Splines 处理相关的想法。

您的评论提到了仿射分析。不幸的是，对我而言，这对我们来说并不是很有帮助。

幸运的是，一旦完成了分析和编码，相关的计算应该非常快，以便计算机完成。

当然，这个答案并没有回答任何事情。给了16个小时左右，我可能会做分析;再给我40个小时左右的时间，我可能会想出一些代码 - 到那时我可能会发现文献中哪些人已经用更整洁，更简单的方式解决了问题。祝你好运。

Answer 2

我计算了每个采样点D = X - XX的位移，然后用curl()计算了该字段的旋转。这显示了所有位置和所有方向的恒定旋转。所以我可能错误地认为我需要对每个采样点进行不同的校正。

然后可能可以反转/转置旋转矩阵并将其应用于测量（而不是测量的坐标）。然后将三个测量的三个结果组合在一起，然后给出校正后的数据。

我将该代码添加到循环中并绘制了位移和卷曲：

n1=10; n2=10; n3=10; sig=5; vec = struct; A = struct; D = struct; C = struct; [vec(1).X,vec(2).X,vec(3).X] = ndgrid(1:n1,1:n2,1:n3); fig1 = figure; fig2 = figure; fig3 = figure;
for itrans = 1:3
    t = rand(1,3); r = rand(1,3)*2*pi/50; vec(itrans).x = imgaussfilt3(rand(n1,n2,n3), sig);
    R1 = [1,     0,     0; 0, cos(r(1)), sin(r(1)); 0,-sin(r(1)), cos(r(1))];
    R2 = [cos(r(2)), 0,-sin(r(2)); 0, 1,         0; sin(r(2)), 0, cos(r(2))];
    R3 = [cos(r(3)), sin(r(3)), 0; -sin(r(3)), cos(r(3)), 0; 0,        0, 1];
    %make affine component matrices
    T = eye(4); T(1,4) = t(1); T(2,4) = t(2); T(3,4) = t(3); R = R1*R2*R3; R(4,4) = 1;S = eye(4);
    A(itrans).mat = T*R*S;

    %apply transformation to coordinates and plot alignment
    X = [vec(1).X(:)'; vec(2).X(:)'; vec(3).X(:)';ones(1,numel(vec(3).X))]; XX = A(itrans).mat*X;
    dcenter = sqrt(sum((X(1:3,:)-5).^2)); dcenter = dcenter./max(dcenter(:));
    figure(fig1); subplot(1,3,itrans); scatter3(vec(1).X(:),vec(2).X(:),vec(3).X(:)); hold on; title('displacement measurement 3'); scatter3(XX(1,:)',XX(2,:)',XX(3,:)', 'r'); legend('original', 'displaced')

    %calculate and plot displacement due to transformation
    D(itrans).d = X-XX;
    figure(fig2); subplot(1,3,itrans); q = quiver3(vec(1).X(:)',vec(2).X(:)',vec(3).X(:)',D(itrans).d(1,:),D(itrans).d(2,:),D(itrans).d(3,:)); title(['displacement of each voxel measurement ' num2str(itrans)])
    currentColormap = colormap(gca); [~, ~, ind] = histcounts(dcenter, size(currentColormap, 1)); cmap = uint8(ind2rgb(ind(:), currentColormap) * 255); cmap(:,:,4) = 255; cmap = permute(repmat(cmap, [1 3 1]), [2 1 3]); set(q.Head, 'ColorBinding', 'interpolated', 'ColorData', reshape(cmap(1:3,:,:), [], 4).'); set(q.Tail, 'ColorBinding', 'interpolated', 'ColorData', reshape(cmap(1:2,:,:), [], 4).');

    %calculate and plot rotational part of displacement field
    [C(itrans).x1,C(itrans).x2,C(itrans).x3,C(itrans).av] = curl(reshape(vec(1).X(:)', n1, n2, n3),reshape(vec(2).X(:)', n1, n2, n3),reshape(vec(3).X(:)', n1, n2, n3),reshape(D(itrans).d(1,:), n1, n2, n3),reshape(D(itrans).d(2,:), n1, n2, n3),reshape(D(itrans).d(3,:), n1, n2, n3));
    figure(fig3); subplot(1,3,itrans); q = quiver3(vec(1).X(:)',vec(2).X(:)',vec(3).X(:)',C(itrans).x1(:)',C(itrans).x2(:)',C(itrans).x3(:)'); title(['curl of each voxel measurement ' num2str(itrans)])
    currentColormap = colormap(gca); [~, ~, ind] = histcounts(dcenter, size(currentColormap, 1)); cmap = uint8(ind2rgb(ind(:), currentColormap) * 255); cmap(:,:,4) = 255; cmap = permute(repmat(cmap, [1 3 1]), [2 1 3]); set(q.Head, 'ColorBinding', 'interpolated', 'ColorData', reshape(cmap(1:3,:,:), [], 4).'); set(q.Tail, 'ColorBinding', 'interpolated', 'ColorData', reshape(cmap(1:2,:,:), [], 4).');
    %rotation is constant, so not changed by translation or position of sample?
end

矢量的位移（color与边缘接近的函数有关）。

Rotational部分流离失所。

到处都是平等的：

unique(C(1).x1(:))

ans =

0.1617
0.1617
0.1617
0.1617

所以我想我可以将R'应用于每个测量，然后将它们作为校正数据加在一起。

rotmeas = zeros(3, numel(vec(1).x));
for itrans = 1:3
    %apply transformation to coordinates and interpolate
    vec(itrans).xtrans = interp3(vec(itrans).x(:) ,XX(1,:)',XX(2,:)',XX(3,:)','cubic',0);
    %get inverse rotation
    Rinv = A(itrans).mat(1:3,1:3)'
    curmeas = vec(itrans).xtrans;
    compmeas = zeros(3, numel(vec(1).x));
    compmeas(itrans,:) = curmeas;
    %apply inverse rotation to spread old component over new axes
    rotmeas = rotmeas + Rinv*compmeas;
end

然后再次将其重塑为数组。

for itrans = 1:3
    vec(itrans).xcor = reshape(rotmeas(itrans,:), n1,n2,n3);
end

现在我认为三个数据集是对齐的，矢量分量是正交的，并与新的坐标系对齐。只是不知道如何检查。混合测量的不同组成部分和旋转尺寸似乎很容易。

在仿射变换坐标

2 个答案: