找到最小数量的组，以便在同一组中没有敌人

Question

假设每个学生都有x个敌人。我们需要在100名学生中组成小组，这样就不会有同一组中的敌人。找出最坏情况下x = 1,2,3所需的最小组数。如何处理这个问题？

Answer 1

考虑一个顶点代表学生和边缘的图表，表示两个学生是否是敌人。

每个顶点具有 k 相邻顶点的图形称为k-regular graph。

  

存在n阶 k - 正规图的必要和充分条件是 k＆lt; n ， n * k 是偶数。

将图形的顶点划分为组，使得组中没有两个顶点相邻，称为vertex coloring，最小数量的此类组称为图形的chromatic number。

所以，你的问题可以说如下：给定两个整数 n 和 k＆lt; n ，找到 n 顶点的 k - 正规图的最大色数。

要解决此问题，可以使用Brooks' theorem：

  

在连接图中，每个顶点最多有Δ个邻居，   除了两种情况外，顶点只能用Δ颜色着色，   奇数长度的完整图形和循环图，需要Δ+ 1   颜色。