如何计算DAG中的最大并行度？

Question

给定DAG（有向无环图），如何计算最大并行度？

瞬时并行性是算法执行中每个点可以保持忙碌的最大处理器数量; 最大并行度是最高的瞬时并行性。

换句话说，假设DAG表示任务的依赖关系图，那么最小的处理器/线程数是多少，以至于没有任何任务被阻止？

我发现here最接近的方法是：

• 在DAG上应用拓扑排序
• 按拓扑顺序遍历节点，计算最小级别：
  • 没有父母：0
  • 否则：最低父级别+ 1
• 返回最大级别宽度（分配相同级别的最大节点数）

这个算法适用于几个样本，但不适用于树。 E.g：

  o 0
 / \
o 1 o 1
   / \
  o 2 o 2
     / \
    o 3 o 3

根据上面的算法，最大宽度为2，但树中的最大平行度显然是叶子的数量，在上面的例子中为4。

类似的方法部分描述here（参见标题为Computing critical path etc.的幻灯片，其中描述了如何计算节点的最早开始时间以及“可以从此计算出最大...并行度”）

编辑1：

@ AliSoltani使用BFS查找关键路径长度的解决方案，即最大并行度是不正确的，因为它仅适用于示例的子集，主要是叶子数等于最长的树路径。以下是一个不起作用的案例说明：

编辑2：

@ AliSultani使用BFS找到具有最大节点数的级别的第二个解决方案，并将该max设置为最大并行度也是不正确的，因为它没有考虑来自不同级别的节点可以并发运行的情况。看到这个反例：

Answer 1

此问题可以归结为Maximum Directed Cut问题。

让我们从原来的DAG构建一个辅助DAG。

1. 对于原始图表的每个顶点u[i]，将顶点v[i]和w[i]添加到新图表中，并使用边(v[i], w[i])连接它们，费用为{{1} }}。
2. 对于原始图表的每个边1，向新图表添加成本为(u[i], u[j])的边(w[i], v[j])。
3. 现在问题相当于在辅助图中找到最大定向切割。

示例：

Answer 2

您应该在DAG中找到critical path length。关键路径是有针对性的 DAG中所有其他路径中具有最大执行要求的路径。在具有n个节点的DAG中的critical path length具有n个节点。因此maximal parallelism为n。

从根到叶（在DAG中）的关键路径为longest path，为了找到它，您可以使用 BFS 算法（Breath First Search）。

示例1

此树中的

BFS order为O(|V|+|E|)。这是此问题的最佳解决方案。

编辑：通过BFS查找最大并发度

您也可以通过运行广度优先搜索算法来确定最大并发度：

• 算法从根节点开始并继续向 叶子水平。
• 在检查位于下一级别的节点之前，它会探索所有节点 属于相同级别的节点。
• 计算每个级别上的节点数并更新变量保持 每个级别的最大节点数。

示例2（逐步）

因此，在此示例中，最大并发度为4。

最终修改

根据您提供的最后一个解释，Maximal independent set任务就是您要找的。要解决此问题，请参阅this article。

Answer 3

我尚未测试算法，但是我的建议如下：

1. 从原始节点开始。
2. 选择每个连接的边。当前并发是所选边的数量。记住这一点。
3. 按出站边数对通过边连接的所选节点进行排序。忽略所有尚未选择入站边缘的节点。
4. 从边缘最外的节点开始沿着边缘下降。
5. 如果不在末端节点：从2开始重复
6. 获取所有迭代的当前并发最大值。

Here是python中使用networkx的一种实现。您链接的文档有一些不同之处。当以附加的时间将图形执行到节点时，它计算并发任务数（在这种情况下，每个节点1个）。这是一项简单的任务，可能是文档作者所提到的任务。但是，我的算法会计算理论最大值，并且没有考虑每个任务的运行时间。