为什么密度曲线下面积的总和总是大于1（R）？

Question

我找到了用来计算R中密度曲线下面积之和的代码。不幸的是，我不明白为什么总有一个额外的〜＆＃34; 0.000976＆＃34;在该地区...

nb.data = 500000
y = rnorm(nb.data,10,2)

de = density(y)

require(zoo)
sum(diff(de$x[order(de$x)])*rollmean(de$y[order(de$x)],2))

[1] 1.000976

为什么会这样？

它应该等于1，对吧？

Answer 1

那是微积分。对于更准确的结果

，请使用更高的n（默认值为512）

set.seed(42)
de = density(rnorm(500000, 10, 2))
sum(diff(sort(de$x)) * 0.5 * (de$y[-1] + head(de$y, -1)))
#[1] 1.00098

set.seed(42)
de = density(rnorm(500000, 10, 2), n = 1000)
sum(diff(sort(de$x)) * 0.5 * (de$y[-1] + head(de$y, -1)))
#[1] 1.000491

set.seed(42)
de = density(rnorm(500000, 10, 2), n = 10000)
sum(diff(sort(de$x)) * 0.5 * (de$y[-1] + head(de$y, -1)))
#[1] 1.000031

set.seed(42)
de = density(rnorm(500000, 10, 2), n = 100000)
sum(diff(sort(de$x)) * 0.5 * (de$y[-1] + head(de$y, -1)))
#[1] 1.000004

set.seed(42)
de = density(rnorm(500000, 10, 2), n = 1000000)
sum(diff(sort(de$x)) * 0.5 * (de$y[-1] + head(de$y, -1)))
#[1] 1

Answer 2

这种差异不仅仅是由于舍入误差或浮点运算引起的。你有效地在由density计算的点之间进行线性插值，然后在这个近似下计算原始函数的面积（即你使用trapzoidal rule积分曲线），这意味着你高估了曲线区域中凹陷的区域，并且在向下凹陷的区域中低估它。以下是维基百科文章中展示系统错误的示例图片：

^{图片来自Intégration_num_trapèzes.svg：Scalerderivative work：Cdang（talk） - Intégration_num_trapèzes.svg，CC BY-SA 3.0，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8541370}

由于正态分布具有更多的凹陷区域（即两个尾部），因此总体估计值太高。如在另一个答案中所提到的，使用更高的分辨率（即增加N）有助于最小化误差。使用不同的数值积分方法（例如Simpson's rule）可能会得到更好的结果。

然而，没有数字积分方法可以给你一个确切的答案，即使有，但density的返回值只是实际分布的近似值。 （对于真实数据，真正的分布是未知的。）

如果您只想满足看到已知密度函数积分为1，那么您可以在常规密度函数上使用integrate：

> integrate(dnorm, lower=-Inf, upper=Inf, mean=10, sd=2)
1 with absolute error < 4.9e-06