计算表达式长度而不计算表达式本身

Question

我需要计算复杂表达式十进制长度（包含阶乘）而不计算表达式本身。 例如： ( 400! / ( 100! * 300!) )的十进制长度 任何可以执行任务或数学公式的方法都可能有用。 谢谢。

Answer 1

如果近似值足够，我们可以使用斯特林近似值：

N！ ~sqrt（2×πn）×（n / e） ⁿ

这个结果对我们的目标不是很有意思，但是我们可以使用log10来获取位数：

log ₁₀ （n！）~log ₁₀ （sqrt（2×πn））+ n×log ₁₀ （n / e ）

现在我们可以使用以下方法计算！/（b！×c！）的位数：

log（a！/（b！×c！））= log（a！） - log（b！） - log（c！）

等于：

log（a！/（b！×c！））= log ₁₀ （sqrt（2×πa））+ a×log ₁₀ （a / e ）-log <子> 10 （SQRT（2×πB）） - b×日志<子> 10 （b / E）-log <子> 10 （SQRT（2 ×πC）） - C×日志<子> 10 （C / E）

数字 n 的位数大致为⌊log（n）⌋+ 1。

因此，例如在Python中，我们可以近似：

from math import log10, pi, e, sqrt, floor

def approx_fac_log10(n):
    return log10(sqrt(2.0*pi*n))+n*log10(n/e)

def approx_length(a,b,c):
    return 1+floor(approx_fac_log10(a)-approx_fac_log10(b)-approx_fac_log10(c))

对于您的公式，我们获得：

>>> approx_length(400,100,300)
97

如果我们计算结果，我们得到：

>>> factorial(400)//(factorial(100)*factorial(300))
2241854791554337561923210387201698554845411177476295990399942258896013007429693894018935107174320
>>> factorial(400)/(factorial(100)*factorial(300))
2.2418547915543375e+96

如果我们将结果转换为字符串，然后获取该字符串的长度，我们得到：

>>> len(str(factorial(400)//(factorial(100)*factorial(300))))
97

所以近似是正确的：结果确实有97位数。

您可以使用 Stirling approximation 中的 more 项来提高近似值的质量。最终，如果你采用无限量的术语，你的确会完全计算出结果：

Answer 2

数字x中的位数是floor（log（x））+ 1： a proof on math.stackexchange

因此，根据您的效率需求，添加和减去对数的简单方法可能就足够了。