多个二次（或多项式）最小二乘（表面拟合）的代码？

Question

对于机器视觉项目我试图搜索二次曲面的图像数据（f（x，y）= Ax ^ 2 + Bx + Cy ^ 2 + Dy + Exy + F）。我的计划是迭代数据区域并执行曲面拟合，查看错误，看它是否是连续曲面（这可能表示图像中的特征）。

我以前能够通过采样线在图像数据中找到二次曲线（f（x）= Ax ^ 2 + Bx + C），使用本网站上的公式

http://mathforum.org/library/drmath/view/72047.html

这很有效，很有希望，但是找到形成连续曲面的二维区域对我的任务更有用。

我看到很多文章表明最小二乘回归可以扩展到多个维度，但是我无法找到这个代码。希望有一个＆＃34;封闭形式＆＃34; （非迭代，只是从您的数据点计算）解决方案，如上面针对1D数据所述。有没有人知道某些来源或伪代码可以实现这一目标？感谢。

（对不起，如果我的术语有点偏。）

Answer 1

我不确定你的背景是什么，但如果你知道一些线性代数，你会发现linear least squares on wikipedia很有用。

让我们看看下面的例子。假设我们有以下图片

我们想知道它在最小二乘意义上如何适合2D二次函数。

解决问题的最简单方法可能是以最小二乘意义计算最佳系数，然后检查错误。

首先我们需要描述矩阵。

让X成为包含图像中每个x，y坐标的矩阵，格式为

X = [x1  x1^2  y1  y1^2  x1*y1  1;
     x2  x2^2  y2  y2^2  x2*y2  1;
     ...
     xN  xN^2  yN  yN^2  xN*yN  1];

对于上面的示例图片，X将是100x6矩阵。

让y为形式

的矢量中的图像强度值

y = [img(x1,y1);
     img(x2,y2);
     ...
     img(xN,yN)]

在这种情况下，y是100个元素的列向量。

我们希望最小化关于系数向量S的最小二乘目标函数b

S(b) = |y - X*b|^2

其中|.|是L2范数，b是所需系数

b = [A;
     B;
     C;
     D;
     E;
     F]

将S(b)的向量导数相对于b，设置为零，并求解b leads to the standard least squares solution。

b = inv(X'X)*X'*y

其中inv是矩阵逆，'是转置，*是矩阵乘法。

MATLAB示例。

% Generate an image

% define x,y coordinates for each location in the image
[x,y] = meshgrid(1:10,1:10);

% true coefficients
b_true = [0.1 0.5 0.3 -0.4 0.4 124];
% magnitude of noise
P = 2;
% create image
img = b_true(1).*x + b_true(2).*x.^2 + b_true(3).*y + b_true(4).*y.^2 + b_true(5).*x.*y + b_true(6);
noise = P*randn(10,10);
img = img + noise;

% Begin least squares optimization

% create matrices
X = [x(:) x(:).^2 y(:) y(:).^2 x(:).*y(:) ones(size(x(:)))];
y = img(:);

% estimated coefficients
b = (X.'*X)\(X.')*y

% mean square error (expected to be near P^2)
E = 1/numel(y) * sum((y - X*b).^2)

输出

b =

    0.0906
    0.5093
    0.1245
   -0.3733
    0.3776
  124.5412


E =

    3.4699

在您的应用程序中，您可能希望定义一些阈值，以便在E < threshold时将图像（或图像区域）接受为二次多项式。