对于机器视觉项目我试图搜索二次曲面的图像数据(f(x,y)= Ax ^ 2 + Bx + Cy ^ 2 + Dy + Exy + F)。我的计划是迭代数据区域并执行曲面拟合,查看错误,看它是否是连续曲面(这可能表示图像中的特征)。
我以前能够通过采样线在图像数据中找到二次曲线(f(x)= Ax ^ 2 + Bx + C),使用本网站上的公式
http://mathforum.org/library/drmath/view/72047.html
这很有效,很有希望,但是找到形成连续曲面的二维区域对我的任务更有用。
我看到很多文章表明最小二乘回归可以扩展到多个维度,但是我无法找到这个代码。希望有一个"封闭形式" (非迭代,只是从您的数据点计算)解决方案,如上面针对1D数据所述。有没有人知道某些来源或伪代码可以实现这一目标?感谢。
(对不起,如果我的术语有点偏。)
答案 0 :(得分:2)
我不确定你的背景是什么,但如果你知道一些线性代数,你会发现linear least squares on wikipedia很有用。
让我们看看下面的例子。假设我们有以下图片
我们想知道它在最小二乘意义上如何适合2D二次函数。
解决问题的最简单方法可能是以最小二乘意义计算最佳系数,然后检查错误。
首先我们需要描述矩阵。
让X
成为包含图像中每个x,y坐标的矩阵,格式为
X = [x1 x1^2 y1 y1^2 x1*y1 1;
x2 x2^2 y2 y2^2 x2*y2 1;
...
xN xN^2 yN yN^2 xN*yN 1];
对于上面的示例图片,X将是100x6
矩阵。
让y
为形式
y = [img(x1,y1);
img(x2,y2);
...
img(xN,yN)]
在这种情况下,y
是100个元素的列向量。
我们希望最小化关于系数向量S
的最小二乘目标函数b
S(b) = |y - X*b|^2
其中|.|
是L2范数,b
是所需系数
b = [A;
B;
C;
D;
E;
F]
将S(b)
的向量导数相对于b
,设置为零,并求解b
leads to the standard least squares solution。
b = inv(X'X)*X'*y
其中inv
是矩阵逆,'
是转置,*
是矩阵乘法。
MATLAB示例。
% Generate an image
% define x,y coordinates for each location in the image
[x,y] = meshgrid(1:10,1:10);
% true coefficients
b_true = [0.1 0.5 0.3 -0.4 0.4 124];
% magnitude of noise
P = 2;
% create image
img = b_true(1).*x + b_true(2).*x.^2 + b_true(3).*y + b_true(4).*y.^2 + b_true(5).*x.*y + b_true(6);
noise = P*randn(10,10);
img = img + noise;
% Begin least squares optimization
% create matrices
X = [x(:) x(:).^2 y(:) y(:).^2 x(:).*y(:) ones(size(x(:)))];
y = img(:);
% estimated coefficients
b = (X.'*X)\(X.')*y
% mean square error (expected to be near P^2)
E = 1/numel(y) * sum((y - X*b).^2)
输出
b =
0.0906
0.5093
0.1245
-0.3733
0.3776
124.5412
E =
3.4699
在您的应用程序中,您可能希望定义一些阈值,以便在E < threshold
时将图像(或图像区域)接受为二次多项式。