Question

我正在尝试基于dft（离散傅里叶变换）矩阵分解来实现fft（快速傅里叶变换）。在下面的代码中，fft和直接的方法（即：将dft矩阵直接乘以v）都是实施是为了测试我执行fft的有效性。

import numpy as n
import cmath, math
import matplotlib.pyplot as plt

v=n.array([1,-1,2,-3])
w=v
N=len(v)
t=[0]*N
M=n.zeros((N,N),dtype=complex)
z=n.exp(2j*math.pi/N)
for a in range(N):
    for b in range(N):
        M[a][b]=n.exp(2j*math.pi*a*b/N)
print (n.dot(v,M))
plt.plot(n.dot(v,M))
def f(x):
    x=n.concatenate([x[::2],x[1::2]])
    return x

while (w!=f(v)).any():
    v=f(v)
print(v)
a=2
while a<=N:

    for k in range(N/a):
        for y in range(a/2):
            t[y]=v[a*k+y]
        for i in range(a/2):
            v[a*k+i]+=v[a*k+i+a/2]*(z**i)
            v[a*k+i+a/2]=t[i]-v[a*k+i+a/2]*(z**i)
    a*=2    
print(v)
plt.plot(v)

plt.show()

我用v的很多值尝试了这个，有时这两种方法的输出产生完全相同的结果，但有时它们彼此接近但不完全相同。在经过几次测试之后，他们并没有相差太远，每次都有不同的v值。

我有什么遗漏会导致代码不精确吗？

修改：请注意，代码是为Python 2设计的（因为隐式整数除法）。

Answer 1

似乎问题不在算法中，而是在v的声明中（感谢@kazemakase）。试试

v=n.array([1,-1,2,-3], dtype=complex)

代替。至少对我来说，曲线然后出现在彼此之上：

修改

这就是旅程。我无法弄清楚你的代码有什么问题，但看起来有几个错误，无论是dft还是fft。最后，我根据[本文档]（http://www.cs.cmu.edu/afs/andrew/scs/cs/15-463/2001/pub/www/notes/fourier/fourier.pdf）编写了我自己的fft版本（第6-9页，包含了您需要的所有信息）。也许你可以通过算法找出你的问题所在。可以在this answer中找到用于位反转的算法（或者在this one中）。我测试了不同长度的线性向量的代码 - 如果你发现任何错误，请告诉我。

import numpy as np import cmath def bit_reverse(x,n): """ Reverse the last n bits of x """ ##from https://stackoverflow.com/a/12682003/2454357 ##formstr = '{{:0{}b}}'.format(n) ##return int(formstr.format(x)[::-1],2) ##from https://stackoverflow.com/a/5333563/2454357 return sum(1<<(n-1-i) for i in range(n) if x>>i&1) def permute_vector(v): """ Permute vector v such that the indices of the result correspond to the bit-reversed indices of the original. Returns the permuted input vector and the number of bits used. """ ##check that len(v) == 2**n ##and at the same time find permutation length: L = len(v) comp = 1 bits = 0 while comp<L: comp *= 2 bits += 1 if comp != L: raise ValueError('permute_vector: wrong length of v -- must be 2**n') rindices = [bit_reverse(i,bits)for i in range(L)] return v[rindices],bits def dft(v): N = v.shape[0] a,b = np.meshgrid( np.linspace(0,N-1,N,dtype=np.complex128), np.linspace(0,N-1,N,dtype=np.complex128), ) M = np.exp((-2j*np.pi*a*b)/N) return np.dot(M,v) def fft(v): w,bits = permute_vector(v) N = w.shape[0] z=np.exp(np.array(-2j,dtype=np.complex128)*np.pi/N) ##starting fft for i in range(bits): dist = 2**i ##distance between 'exchange pairs' group = dist*2 ##size of sub-groups for start in range(0,N,group): for offset in range(group//2): pos1 = start+offset pos2 = pos1+dist alpha1 = z**((pos1*N//group)%N) alpha2 = z**((pos2*N//group)%N) w[pos1],w[pos2] = w[pos1]+alpha1*w[pos2],w[pos1]+alpha2*w[pos2] return w if __name__ == '__main__': #test the fft for n in [2**i for i in range(1,5)]: print('-'*25+'n={}'.format(n)+'-'*25) v = np.linspace(0,n-1,n, dtype=np.complex128) print('v = ') print(v) print('fft(v) = ') print(fft(v)) print('dft(v) = ') print(dft(v)) print('relative error:') print(abs(fft(v)-dft(v))/abs(dft(v)))

这给出了以下输出：

-------------------------n=2------------------------- v = [ 0.+0.j 1.+0.j] fft(v) = [ 1. +0.00000000e+00j -1. -1.22464680e-16j] dft(v) = [ 1. +0.00000000e+00j -1. -1.22464680e-16j] relative error: [ 0. 0.] -------------------------n=4------------------------- v = [ 0.+0.j 1.+0.j 2.+0.j 3.+0.j] fft(v) = [ 6. +0.00000000e+00j -2. +2.00000000e+00j -2. -4.89858720e-16j -2. -2.00000000e+00j] dft(v) = [ 6. +0.00000000e+00j -2. +2.00000000e+00j -2. -7.34788079e-16j -2. -2.00000000e+00j] relative error: [ 0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.22464680e-16 3.51083347e-16] -------------------------n=8------------------------- v = [ 0.+0.j 1.+0.j 2.+0.j 3.+0.j 4.+0.j 5.+0.j 6.+0.j 7.+0.j] fft(v) = [ 28. +0.00000000e+00j -4. +9.65685425e+00j -4. +4.00000000e+00j -4. +1.65685425e+00j -4. -7.10542736e-15j -4. -1.65685425e+00j -4. -4.00000000e+00j -4. -9.65685425e+00j] dft(v) = [ 28. +0.00000000e+00j -4. +9.65685425e+00j -4. +4.00000000e+00j -4. +1.65685425e+00j -4. -3.42901104e-15j -4. -1.65685425e+00j -4. -4.00000000e+00j -4. -9.65685425e+00j] relative error: [ 0.00000000e+00 6.79782332e-16 7.40611132e-16 1.85764404e-15 9.19104080e-16 3.48892999e-15 3.92837008e-15 1.35490975e-15] -------------------------n=16------------------------- v = [ 0.+0.j 1.+0.j 2.+0.j 3.+0.j 4.+0.j 5.+0.j 6.+0.j 7.+0.j 8.+0.j 9.+0.j 10.+0.j 11.+0.j 12.+0.j 13.+0.j 14.+0.j 15.+0.j] fft(v) = [ 120. +0.00000000e+00j -8. +4.02187159e+01j -8. +1.93137085e+01j -8. +1.19728461e+01j -8. +8.00000000e+00j -8. +5.34542910e+00j -8. +3.31370850e+00j -8. +1.59129894e+00j -8. +2.84217094e-14j -8. -1.59129894e+00j -8. -3.31370850e+00j -8. -5.34542910e+00j -8. -8.00000000e+00j -8. -1.19728461e+01j -8. -1.93137085e+01j -8. -4.02187159e+01j] dft(v) = [ 120. +0.00000000e+00j -8. +4.02187159e+01j -8. +1.93137085e+01j -8. +1.19728461e+01j -8. +8.00000000e+00j -8. +5.34542910e+00j -8. +3.31370850e+00j -8. +1.59129894e+00j -8. -6.08810394e-14j -8. -1.59129894e+00j -8. -3.31370850e+00j -8. -5.34542910e+00j -8. -8.00000000e+00j -8. -1.19728461e+01j -8. -1.93137085e+01j -8. -4.02187159e+01j] relative error: [ 0.00000000e+00 1.09588741e-15 1.45449990e-15 6.36716793e-15 8.53211992e-15 9.06818284e-15 1.30922044e-14 5.40949529e-15 1.11628436e-14 1.23698141e-14 1.50430426e-14 3.02428869e-14 2.84810617e-14 1.16373983e-14 1.10680934e-14 3.92841628e-15]

这是一个非常好的挑战 - 我学到了很多东西！您可以在线验证代码的结果，例如here。

fft算法产生不精确的结果

1 个答案: