Question

我正在寻找仅基于双输入最小/最大操作的九个元素的排序和中值选择网络。 Knuth， TAOCP Vol。 3 ，第2版。状态（第226页）九元素排序网络需要至少25次比较，这转换为相同数量的SWAP()基元或50 min / max运算。显然，通过消除冗余操作，可以将分拣网络转换为中值选择网络。传统观点似乎是，这不会导致最佳的中值选择网络。虽然这似乎在经验上是正确的，但我在文献中找不到证据证明这一定是必然的。

LukáŝSekanina，“中位电路的进化设计空间探索”。在： EvoWorkshops ，2004年3月，第240-249页，给出了最佳九输入中值选择网络所需的最小/最大操作次数为30（表1）。我通过John L. Smith给出的众所周知的中值选择网络“在XC4000E FPGA中实现中值滤波器”来验证这一点。 XCELL杂志，Vol。 23,1996，p。来自Chaitali Chakrabarti和Li-Yu Wang早期工作的“9”中间网络，“用于排序过滤器的新型排序网络架构”。 IEEE超大规模集成系统交易，Vol。 2，No.4（1994），pp.502-507，其中后者通过简单地消除冗余分量转换成前者。请参阅以下代码中的变体4和5。

通过消除冗余操作，检查已发布的最佳九元排序网络是否适合转换为有效的中间选择网络，我设法找到的最佳版本来自John M. Gamble的online generator，需要32分钟/ max操作，因此只有两个最优操作计数。这在下面的代码中显示为变体1。其他最佳分拣网络分别减少到36分钟/最大操作（变体2）和38分钟/最大操作（变体3）。

是否有任何已知的九元素分拣网络（即50个双输入最小/最大操作）通过消除减少到最佳九输入中值选择网络（具有30个双输入最小/最大操作）单独冗余操作？

下面的代码使用float数据作为测试用例，因为许多处理器为浮点数据提供最小/最大操作，但不提供整数数据，GPU是一个例外。由于特殊浮点操作数的问题（在我的实际用例中没有出现），最佳代码序列通常需要使用编译器提供的“快速数学”模式，例如在Godbolt testbed中。

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define VARIANT     1
#define FULL_SORT   0

typedef float T;

#define MIN(a,b) std::min(a,b)
#define MAX(a,b) std::max(a,b)
#define SWAP(i,j) do { T s = MIN(a##i,a##j); T t = MAX(a##i,a##j); a##i = s; a##j = t; } while (0)
#define MIN3(x,y,z)  MIN(a##x,MIN(a##y,a##z))
#define MAX3(x,y,z)  MAX(a##x,MAX(a##y,a##z))
#define MED3(x,y,z)  MIN(MAX(MIN(a##y,a##z),a##x),MAX(a##y,a##z))
#define SORT3(x,y,z) do { T s = MIN3(x,y,z);  T t = MED3(x,y,z);  T u = MAX3(x,y,z); a##x=s; a##y=t; a##z=u; } while (0)

/* Use sorting/median network to fully or partially sort array of nine values
   and return the median value
*/
T network9 (T *a)
{
    // copy to scalars
    T a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8;
    a0=a[0];a1=a[1];a2=a[2];a3=a[3];a4=a[4];a5=a[5];a6=a[6];a7=a[7];a8=a[8];

#if VARIANT == 1
    // Full sort. http://pages.ripco.net/~jgamble/nw.html
    SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (1, 2);   SWAP (4, 5);
    SWAP (7, 8);   SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (0, 3);
    SWAP (3, 6);   SWAP (0, 3);   SWAP (1, 4);   SWAP (4, 7);   SWAP (1, 4);
    SWAP (2, 5);   SWAP (5, 8);   SWAP (2, 5);   SWAP (1, 3);   SWAP (5, 7);
    SWAP (2, 6);   SWAP (4, 6);   SWAP (2, 4);   SWAP (2, 3);   SWAP (5, 6);
#elif VARIANT == 2
    // Full sort. Donald E. Knuth, TAOCP Vol. 3, 2nd ed., Fig 51
    SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (1, 2);   SWAP (4, 5);
    SWAP (7, 8);   SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (2, 5);
    SWAP (0, 3);   SWAP (5, 8);   SWAP (1, 4);   SWAP (2, 5);   SWAP (3, 6);
    SWAP (4, 7);   SWAP (0, 3);   SWAP (5, 7);   SWAP (1, 4);   SWAP (2, 6);
    SWAP (1, 3);   SWAP (2, 4);   SWAP (5, 6);   SWAP (2, 3);   SWAP (4, 5);
#elif VARIANT == 3
    // Full sort. Vinod K Valsalam and Risto Miikkulainen, "Using Symmetry 
    // and Evolutionary Search to Minimize Sorting Networks". Journal of 
    // Machine Learning Research 14 (2013) 303-331
    SWAP (2, 6);   SWAP (0, 5);   SWAP (1, 4);   SWAP (7, 8);   SWAP (0, 7);
    SWAP (1, 2);   SWAP (3, 5);   SWAP (4, 6);   SWAP (5, 8);   SWAP (1, 3);
    SWAP (6, 8);   SWAP (0, 1);   SWAP (4, 5);   SWAP (2, 7);   SWAP (3, 7);
    SWAP (3, 4);   SWAP (5, 6);   SWAP (1, 2);   SWAP (1, 3);   SWAP (6, 7);
    SWAP (4, 5);   SWAP (2, 4);   SWAP (5, 6);   SWAP (2, 3);   SWAP (4, 5);
#elif VARIANT == 4
    // Chaitali Chakrabarti and Li-Yu Wang, "Novel sorting network-based 
    // architectures for rank order filters." IEEE Transactions on Very
    // Large Scale Integration Systems, Vol. 2, No. 4 (1994), pp. 502-507
    // sort columns
    SORT3 (0, 1, 2);
    SORT3 (3, 4, 5);
    SORT3 (6, 7, 8);
    // sort rows
    SORT3 (0, 3, 6);  // degenerate: MAX3 -> a6
    SORT3 (1, 4, 7);  // degenerate: MED3 -> a4
    SORT3 (2, 5, 8);  // degenerate: MIN3 -> a2
    // median computation
    SORT3 (2, 4, 6);  // degenerate: MED3 -> a4 has rank 4
#elif VARIANT == 5
    // John L. Smith, "Implementing median filters in XC4000E FPGAs", 
    // XCELL magazine, Vol. 23, 1996, p. 16
    SORT3 (0, 1, 2);
    SORT3 (3, 4, 5);
    SORT3 (6, 7, 8);
    a3 = MAX3 (0, 3, 6);  // a3 has rank 2,3,4,5,6
    a4 = MED3 (1, 4, 7);  // a4 has rank 3,4,5
    a5 = MIN3 (2, 5, 8);  // a5 has rank 2,3,4,5,6
    a4 = MED3 (3, 4, 5);  // a4 has rank 4
#else 
#error unknown VARIANT
#endif

#if FULL_SORT
    // copy back sorted results
    a[0]=a0;a[1]=a1;a[2]=a2;a[3]=a3;a[4]=a4;a[5]=a5;a[6]=a6;a[7]=a7;a[8]=a8;
#endif

    // return median-of-9
    return a4;
}

Answer 1

我不确定这是否符合您所寻找的所有标准，但这是将变体5转换为25个交换，50分钟/最大分拣网络的方法，然后将其减少到30分钟/最大中值选择网络：

我们从中间选择网络（John L. Smith，1996）开始，该网络使用三个SORT3，一个MAX3，一个MIN3和两个MED3：

我们将所有MAX3，MIN3和MED3更改为SORT3＆，并添加四个SWAP以获得完整的分拣网络：

（我们不需要在最后对1,2,3和5,6,7三元组进行完全分类，因为2不能小于1和3，而6不能大于5和7。）

当我们用SWAP替换SORT3时，我们得到了这个标准的25交换分拣网络：

然后我们可以将其减少到这个30分钟/最大中值选择网络：

＆＃13;

MIN = Math.min; MAX = Math.max;

function sortingNetwork9(a) {        // 50x min/max
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
    swap(1,2); swap(4,5); swap(7,8);
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
    swap(0,3); swap(3,6); swap(0,3);
    swap(1,4); swap(4,7); swap(1,4);
    swap(5,8); swap(2,5); swap(5,8);
    swap(2,4); swap(4,6); swap(2,4);  
    swap(1,3); swap(2,3);
    swap(5,7); swap(5,6);

    function swap(i,j) {var tmp = MIN(a[i],a[j]); a[j] = MAX(a[i],a[j]); a[i] = tmp;}
}
function medianSelection9(a) {       // 30x min/max
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
    swap(1,2); swap(4,5); swap(7,8);
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
     max(0,3);  max(3,6);  // (0,3);
    swap(1,4);  min(4,7);  max(1,4);
     min(5,8);  min(2,5);  // (5,8);
    swap(2,4);  min(4,6);  max(2,4);  
     // (1,3);  // (2,3);
     // (5,7);  // (5,6);

    function swap(i,j) {var tmp = MIN(a[i],a[j]); a[j] = MAX(a[i],a[j]); a[i] = tmp;}
    function min(i,j) {a[i] = MIN(a[i],a[j]);}
    function max(i,j) {a[j] = MAX(a[i],a[j]);}
}
var a = [5,7,1,8,2,3,6,4,0], b = [5,7,1,8,2,3,6,4,0];
sortingNetwork9(a);
medianSelection9(b);
document.write("sorted: " + a + "<br>median: " + b[4]);

＆＃13;

最佳的9元素分类网络，可以减少到9个最佳中值网络？

1 个答案: