我知道Knapsack是NP完整的，而DP可以解决它。他们说DP解决方案是pseudo-polynomial，因为它在“输入长度”（即编码输入所需的位数）中是指数的。不幸的是我没有得到它。任何人都可以慢慢向我解释pseudo-polynomial事吗？
答案 0 :(得分：60)
对于具有N个项目和大小为W的背包的无界背包问题，运行时间为O（NW）。虽然输入的长度不是多项式，这使得伪 -polynomial。
考虑W = 1,000,000,000,000。它只需要40位来表示这个数字，因此输入大小= 40，但计算运行时使用因子1,000,000,000,000即O（2 40 ）。
因此运行时更准确地说是O（W 中的N.2 位），这是指数的。
另见：
答案 1 :(得分：22)
在我们的大多数问题中，我们正在处理大量数字列表，这些数字符合标准的int / float数据类型。由于大多数处理器的构建方式一次只能处理4-8个字节的数字而无需额外成本（相对于数字而不是1英寸），我们很少会遇到从缩放数字或在实际问题中我们遇到的范围内 - 所以主导因素仍然只是数据点的数量，我们习惯的n或m因子。
（你可以想象Big-O表示法隐藏了一个常数因子，它将每个数据分成32或64位，只要每个数字都适合那么多，就只留下数据点数比特或更少）
但是尝试重新使用其他算法来处理涉及大整数的数据集 - 需要超过8个字节来表示的数字 - 并查看它对运行时的作用。所涉及的数字的大小总是有所不同，即使在其他算法如二进制排序中，一旦你扩展到安全缓冲区之外，传统处理器通过处理4-8字节批次给我们“免费”。
我们讨论的Knapsack算法的技巧是它对特定参数W的大小非常敏感（相对于其他算法）W。向W添加一位，并使算法的运行时间加倍。在此之前我们还没有看到对其他算法价值变化的那种戏剧性反应，这就是为什么看起来我们对待背包的方式不同 - 但这是对它如何以非多项式方式作出反应的真实分析改变输入大小。
答案 2 :(得分：8)
Knapsack算法的运行时间不仅取决于输入的大小（n - 项目数），还取决于输入的大小（W - 背包容量）O（nW），它是指数的它是如何在二进制计算机中表示的（2 ^ n）。计算复杂度（即如何通过位在计算机内完成处理）只关注输入的大小，而不是它们的幅度/值
暂时忽略价值/重量清单。假设我们有一个背包容量为2的实例.W将在输入数据中占用两位。现在我们将背包容量增加到4，保留其余的输入。我们的输入只增长了一点，但计算复杂性增加了两倍。如果我们将容量增加到1024，我们将只有10位输入用于W而不是2，但复杂性增加了512倍。时间复杂度以二进制（或十进制）表示的W大小呈指数增长
帮助我理解伪多项式概念的另一个简单例子是朴素素性测试算法。对于给定的数字n，我们检查它是否被范围2..√n中的每个整数数均分，因此该算法采用√（n-1）步。但在这里，n是输入的大小，而不是它的大小。
Now The regular O(n) case
相比之下，搜索给定元素的数组在多项式时间内运行：O（n）。它最多需要n步，这里n是输入的大小（数组的长度）。
[见这里]
答案 3 :(得分：2)
我理解这一点的方法是，如果容量输入是[1,2，...，W] 的数组，则容量将为O（W），大小为W.但容量输入不是数字数组，而是一个整数。时间复杂度与输入的大小的关系有关。整数的大小不是整数的值，而是表示它的位数。我们稍后将这个整数W转换成算法中的数组[1,2，...，W]，导致人们错误地认为W是大小，但这个数组不是输入，整数本身就是。
将输入视为＆＃34;一系列东西＆＃34;，大小为＆＃34;数组中有多少东西＆＃34;。项输入实际上是数组中n个项的数组，因此size = n。 容量输入不是W数字的数组，而是单个整数，由log（W）位数组表示。将它的大小增加1（增加1个有意义的位），W加倍，因此运行时间加倍，因此指数时间复杂度。
答案 4 :(得分：1)
复杂性基于输入。在背包问题中，输入是大小、最大容量和利润、重量数组。我们将 dp 表构造为 size * W 所以我们觉得它是多项式时间复杂度。但是，输入 W 是整数，不是数组。因此，它将是 O(size*(no Of bits required to store given W))。如果没有位增加 1，则运行时间加倍。因此它是指数的，因此是伪多项式。