Question

我正在学习RSA算法。我在非常小的素数上执行算法，并使用在线Big Integer计算器来执行加密和解密，一切正常。

我的问题是关于我们创建的指数的大小，当涉及更大的数字时，计算似乎是不可行的。

例如，算法从选择两个素数p和q开始。你计算n = pxq然后计算n的总数。接下来你选择一个数字＆＃39; e＆＃39;这样1

然后执行加密，你可以说像ASCII字符＆＃39; A＆＃39;这是65，你把它提升到e的力量。（65 ^ E）

当e大于100,000（6位数）时，在线大整数计算器开始变得非常缓慢和缓慢（超过一分钟计算）

我的问题是，对于工作RSA算法，该算法选择的是什么大小（位数）数？

我有一个想法是，我使用的在线计算器可能没有使用最好的指数方法吗？这是我正在使用的计算器：http://www.javascripter.net/math/calculators/100digitbigintcalculator.htm

Answer 1

假设M是模数。是的，您可以先执行intermediate = 65^e，然后再计算intermediate mod M。当然，intermediate将是一个非常非常非常大的整数（如果e等于65537，则intermediate的十进制表示包含118813个数字！）。

但是，归功于一个非常基本的模算术定理，

(65^e) mod M = ((((65 mod M) * 65) mod M) * 65) mod M [...] (e times)

（该定理指出，在商环中，元素类的n次幂是元素的n次幂的类）

如您所见，这不需要任何非常大的整数库，因为在每个算术产品之后，您使用mod M返回0和M-1之间的整数。因此，您只需要计算小于M的整数算术乘积。

作为示例，这是一个简单的shell脚本（bash），它计算65 ^ 65537 mod 991 * 997。 如您所见，无需获得大量数据库：

#!/bin/bash

# set RSA parameters
m=65           # message to encode
M=$((991*997)) # modulus (both 991 and 997 are prime numbers)
e=65537        # public exponent (coprime with 990*996, thus compliant with RSA algorithm)

# compute (m^e) mod M
ret=1
for i in {1..$e}
do
  ret=$(((ret*m)%M))
done

# display the result
echo $ret

它立即返回784933，因此65^65537 mod 991*997 = 784933

使用您的微积分计算的最大整数有118813位数，但使用此shell脚本处理的最大整数只有12位或更少位数（(M-1)^2由12位数字组成）。

根据这些解释，我们现在可以回答您的问题：

我的问题是，对于有效的RSA算法，该算法选择的是什么大小（位数）？

通过上面的解释，你可以看到你必须操作的整数的十进制表示中的最大位数是1+log10((M-1)^2)，因为你最多会计算{{{}之间的两个整数的乘积。 1}}和0。

请注意M-1。另请注意，1+log10((M-1)^2) = 1+2.log10(M-1) < 2+2.log10(M) = 2.(1+log10(M))是M的位数。

因此，作为结论，这证明您的库必须正确处理的位数是模数位数的两倍（如果您使用整数乘法计算取幂的方式在这里解释）。

RSA指数大小

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