斐波那契在树上求和

Question

鉴于具有n个节点的树（n可以与2 * 10^5一样大），每个节点都有与之关联的成本，让我们定义以下函数：

• g(u, v) = the sum of all costs on the simple path from u to v
• f(n) = the (n + 1)th Fibonacci number (n + 1 is not a typo)

我正在处理的问题要求我计算树模f(g(u, v))中所有可能的节点对的10^9 + 7之和。

举个例子，我们来看一个带有3个节点的树。

• 不失一般性，假设节点1是根，其子节点为2和3
• costs[1] = 2, cost[2] = 1, cost[3] = 1

g(1, 1) = 2; f(2) = 2

g(2, 2) = 1; f(1) = 1

g(3, 3) = 1; f(1) = 1

g(1, 2) = 3; f(3) = 3

g(2, 1) = 3; f(3) = 3

g(1, 3) = 3; f(3) = 3

g(3, 1) = 3; f(3) = 3

g(2, 3) = 4; f(4) = 5

g(3, 2) = 4; f(4) = 5

对所有值求和，并以10^9 + 7模结果得出26作为正确答案。

我的尝试：

我实现了一种算法，通过使用稀疏表找到最低共同祖先来计算g(u, v)中的O(log n)。

为了找到合适的Fibonacci值，我尝试了两种方法，即在矩阵形式上使用取幂，另一种方法是注意序列modulo 10^9 + 7是循环的。

现在是非常棘手的部分。无论我如何进行上述计算，在计算所有可能O(n^2)的总和时，我仍然最终会达到f(g(u, v))对。我的意思是，只有n * (n - 1) / 2对才有明显的改善，但这仍然是二次的。

我错过了什么？我已经在这里工作了几个小时，但是我没有办法在不实际生成二次算法的情况下得到这笔钱。

Answer 1

要知道节点X的成本要包含在总和中的次数，我们将其他节点划分为3个（或更多）组：

• 连接到X
左侧的子树A.
• 连接到X
右侧的子树B.
• （子树C，D ......如果树不是二进制）
• 通过X的父
连接的所有其他节点Y.

当两个节点属于不同的组时，它们的简单路径通过X.因此，通过X的简单路径的数量为：

  

#Y + #A×（N - #A）+ #B×（N - #B）

因此，通过计算节点的总数N和X下的子树的大小，您可以计算节点X的成本应包括在总和中的次数。为每个节点执行此操作，您将获得总成本。

这个代码可能很简单。我假设节点N的总数是已知的，并且您可以向节点添加属性（这两个假设都简化了算法，但可以在没有它们的情况下完成）。

我们将添加 child_count 来存储节点的后代数量，并添加 path_count 来存储节点所属的简单路径的数量;两者都初始化为零。

对于每个节点，从根目录开始：

• 如果不是所有的孩子都被访问过，请去一个未经访问过的孩子。
• 如果所有孩子都被访问过（或节点是叶子）：
  • 增加 child_count 。
  • 使用N - child_count 增加 path_count 。
  • 将此节点的 path_count ×费用添加到总费用中。
  • 如果当前节点是根节点，我们就完成了;除此以外：
    • 使用此节点的 child_count 增加父节点的 child_count 。
    • 使用此节点的 child_count ×（N - child_count ）增加父节点的 path_count 。
    • 转到父节点。

Answer 2

以下算法的运行时间为O（n ^ 3）。

树是一个没有循环的强连通图。因此，当我们想要获得所有可能的配对时，成本，我们试图找到所有对的最短路径。因此，我们可以使用Dijkstra的想法和动态编程方法解决这个问题（我从Weiss的书中得到了它）。然后我们将斐波那契函数应用于成本，假设我们已经有一个表来查找。

• Dijkstra的想法：我们从根开始，搜索从根到所有其他节点的所有简单路径，然后对图上的其他顶点执行此操作。
• 动态编程方法：我们使用2D矩阵D [] []来表示节点i和节点j之间的最低路径/成本（它们可以交换使用。）。最初，D [i] [i]已经设定。如果节点i和节点j是父/子，则D [i] [j] = g（i，j），这是它们之间的成本。如果节点k在节点i和节点j的成本较低的路径上，我们可以更新D [i] [j]，即D [i] [j] = D [i] [k] + D [ k] [j]如果D [i] [j]＆lt; D [i] [k] + D [k] [j]否则D [i] [j]。

完成后，我们检查D [] []矩阵并将Fibonacci函数应用于每个单元格并将它们相加，并应用模运算。