鉴于具有n个节点的树（n可以与2 * 10^5一样大），每个节点都有与之关联的成本，让我们定义以下函数：
g(u, v) = the sum of all costs on the simple path from u to v f(n) = the (n + 1)th Fibonacci number (n + 1 is not a typo) 我正在处理的问题要求我计算树模f(g(u, v))中所有可能的节点对的10^9 + 7之和。
举个例子，我们来看一个带有3个节点的树。
1是根，其子节点为2和3 costs[1] = 2, cost[2] = 1, cost[3] = 1 g(1, 1) = 2; f(2) = 2
g(2, 2) = 1; f(1) = 1
g(3, 3) = 1; f(1) = 1
g(1, 2) = 3; f(3) = 3
g(2, 1) = 3; f(3) = 3
g(1, 3) = 3; f(3) = 3
g(3, 1) = 3; f(3) = 3
g(2, 3) = 4; f(4) = 5
g(3, 2) = 4; f(4) = 5
对所有值求和，并以10^9 + 7模结果得出26作为正确答案。
我的尝试：
我实现了一种算法，通过使用稀疏表找到最低共同祖先来计算g(u, v)中的O(log n)。
为了找到合适的Fibonacci值，我尝试了两种方法，即在矩阵形式上使用取幂，另一种方法是注意序列modulo 10^9 + 7是循环的。
现在是非常棘手的部分。无论我如何进行上述计算，在计算所有可能O(n^2)的总和时，我仍然最终会达到f(g(u, v))对。我的意思是，只有n * (n - 1) / 2对才有明显的改善，但这仍然是二次的。
我错过了什么？我已经在这里工作了几个小时，但是我没有办法在不实际生成二次算法的情况下得到这笔钱。
答案 0 :(得分：2)
要知道节点X的成本要包含在总和中的次数，我们将其他节点划分为3个（或更多）组：
当两个节点属于不同的组时，它们的简单路径通过X.因此，通过X的简单路径的数量为：
#Y + #A×（N - #A）+ #B×（N - #B）
因此，通过计算节点的总数N和X下的子树的大小，您可以计算节点X的成本应包括在总和中的次数。为每个节点执行此操作，您将获得总成本。
这个代码可能很简单。我假设节点N的总数是已知的，并且您可以向节点添加属性（这两个假设都简化了算法，但可以在没有它们的情况下完成）。
我们将添加 child_count 来存储节点的后代数量，并添加 path_count 来存储节点所属的简单路径的数量;两者都初始化为零。
对于每个节点，从根目录开始：
答案 1 :(得分：-1)
以下算法的运行时间为O（n ^ 3）。
树是一个没有循环的强连通图。因此，当我们想要获得所有可能的配对时，成本，我们试图找到所有对的最短路径。因此，我们可以使用Dijkstra的想法和动态编程方法解决这个问题（我从Weiss的书中得到了它）。然后我们将斐波那契函数应用于成本，假设我们已经有一个表来查找。
完成后，我们检查D [] []矩阵并将Fibonacci函数应用于每个单元格并将它们相加，并应用模运算。