DFA最小化了多少？

Question

状态{A，B}超过字母= {a，b}，可以使用多少最小DFA？我已经解决了这个问题并获得了122作为答案。我拿了两个案子 1.具有2个状态的最小DFA 2.具有1个状态的最小DFA

在案例1中，A和B的所有4个案例都是最终的，一个是最终的，一个是非最终的，都是非最终的。所以总数是120

在案例2中有两个单一状态DFA。

希望我的问题很清楚。这是正确的答案吗？如果不是，请回答解释。

Answer 1

（以下假设我们正在讨论完整的DFA - 也就是说，每个可能的转换都定义为明确定义的状态的DFA。这与可能缺少转换的不完整DFA相反。）

一个重要的澄清：并非所有双态DFA都是最小的。

• 例如，没有接受状态的任何双状态DFA相当于没有接受状态的单状态DFA，每个转换都进入和来自单个状态。
• 如果你最终得到一个双状态DFA，其中没有转换离开起始状态，这不是一个最小的DFA。
• 如果两个州都在接受，那么DFA相当于接受每个字符串的单州DFA。

您对单态DFA的分析是正确的。有两种：DFA接受字母表中的所有字符串，DFA不接受字母表中的字符串。

对于双态DFA，每个州都可以是接受状态。有4种这样的配置。根据上述观察，其中两个并不是最小的。

过渡具有以下属性：

• 每个转换都有一个起始状态，一个目标状态和一个字母表中的字母。
• 每个州都有两个过渡（{a，b}中每个字母一个过渡。）
• 每次转换都有两个可能的目的地（A或B）。

双态DFA中的转换次数=状态数*字母大小= 2 * 2 = 4每次转换都成对出现（例如，对于转换{A，a} - > x，x可以是只有A或B）。有4个这样的对，每个都有二元选择，总共16个转换配置（2^4 = 16）。

接受状态有2种有效的最小配置（A接受，B不接受; B接受，A不接受）。

因此，可能的最小双态DFA的最大值为2 * 16 = 32。其中一些DFA不会很小。 32是上限。

至少有8个不是最小的。这些对应于8个双态DFA，其中从起始状态的转换在起始状态结束。

所以24是一个更严格的上界，我相信这是双态DFA的最小数量。

另一种解决此问题的方法（以及我如何找到自己的错误）是考虑最小双态DFA的结构。每个都有两种状态，可以是两种配置（A接受，或B接受，但不是两者或两者都没有），乘数为2.A（起始）状态必须有一个从A到B的转换（有两种选择）字符（a或b），或从A到B的两个转换，乘数为3.B状态对其转换没有限制，因此它总共有4个可能的转换，乘数为4。检查2 * 3 * 4 = 24以确认上述分析。