Question

我有一个矩阵：

R = [0 -1;1 0];

array = 1:1:10;

另外x0 = [2;1]

如何在没有循环的情况下以最有效的方式获得另一个数组？

array2 = [expm(1*R) expm(2*R) expm(3*R) .... expm(10*R)];

然后我想获得维度2乘以10的array3：

array3 = [expm(1*R)*x0 expm(2*R)*x0 expm(3*R)*x0 .... expm(10*R)*x0];

Answer 1

来自wikipedia：

如果矩阵是对角线，则可以通过对主对角线上的每个条目取幂来获得指数。

假设可以从{1*R, 2*R,...}创建块对角矩阵，则可以获得其指数并将其重新整形为[2 * n]，并且可以乘以x0。但是它的性能可能比循环更差。

R = [0 -1;1 0];
array = 1:1:10;
x0 = [2;1]
n = numel(array);
result = reshape(expm(kron(spdiags(array.',0,n,n),R))*repmat(x0,n,1),2,[]);

对于小尺寸（小于70个元素）的array，全矩阵更有效：

result = reshape(expm(kron(diag(array),R))*repmat(x0,n,1),2,[]);

Answer 2

嗯，我看到你拥有的矩阵R是2x2。如果它总是2x2，那么你可以使用以下函数（Wikipedia）来计算指数：

function output = expm2d(A)
% Assuming t = 1 from Evaluation by Laurent series (https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential#Evaluation_by_Laurent_series)
s = trace(A) / 2;
q = sqrt(-det(A - s*eye(size(A))));
output = exp(s) * ((cosh(q) - s * sinh(q) / q) * eye(size(A)) + (sinh(q) * A / q));
end

使用thewaywewalk提供的出色比较功能，我得到了以下结果：

使用expm时：

>> bench
ans =
    0.0181 %// rahnema
    0.1075 %// thewaywewalk arrayfun
    0.1139 %// thewaywewalk accumarray

使用expm2d时：

>> bench
ans =
    0.0048 %// rahnema
    0.0161 %// thewaywewalk arrayfun
    0.0222 %// thewaywewalk accumarray

如您所见，使用2d矩阵函数会导致运行时间减少10倍。当然，当R不是2x2时，不能使用它。

编辑：将expm2d用于A = 1:100时：

>> bench
ans =
    0.1379 %// rahnema
    0.1415 %// thewaywewalk arrayfun
    0.1756 %// thewaywewalk accumarray

Answer 3

我仍然不知道我的问题是否正确。这里有两个解决方案，它们没有完全矢量化，但速度相当快：

R = [0 -1;1 0];
A = 1:1:10;
x0 = [2;1];

%// option 1
temp = arrayfun(@(x) (expm(R*x)*x0).', A, 'uni', 0);
array3 = vertcat( temp{:} )

%// option 2
temp = accumarray( (1:numel(A)).', A(:), [], @(x) {(expm(R*x)*x0).'})
array3 = vertcat( temp{:} )

基准

我没有考虑Leander's Answer，因为它没有计算array3：

function [t] = bench()
    R = [0 -1;1 0];
    A = 1:1:10;
    x0 = [2;1];

    % functions to compare
    fcns = {
        @() compare1(A,R,x0);
        @() compare2(A,R,x0);
        @() compare3(A,R,x0);
    };

    % timeit
    t = zeros(3,1);
    for ii = 1:100;
        t = t + cellfun(@timeit, fcns);
    end
end

function array3 = compare1(A,R,x0)  %rahnema1
    n = numel(A);
    array3 = reshape(expm(kron(diag(A),R))*repmat(x0,n,1),2,[])
end
function array3 = compare2(A,R,x0)  %thewaywewalk 1
    temp = arrayfun(@(x) (expm(R*x)*x0).', A, 'uni', 0);
    array3 = vertcat( temp{:} )
end
function array3 = compare3(A,R,x0)  %thewaywewalk 2
    temp = accumarray( (1:numel(A)).', A(:), [], @(x) {(expm(R*x)*x0).'});
    array3 = vertcat( temp{:} )
end

<强>结果：

代表A = 1:1:10;

0.1006   %// rahnema
0.2831   %// thewaywewalk arrayfun
0.3103   %// thewaywewalk accumarray

由于kron大型数组的速度非常慢，基准测试结果会因A = 1:1:100;而发生变化：

4.0068   %// rahnema
1.8045   %// thewaywewalk arrayfun
2.4257   %// thewaywewalk accumarray

矢量化：矩阵阵列乘法元素逐一

3 个答案:

基准