Question

我有几组任务，每组是一系列任务，组是相互独立的。组内的任务只能按照该组链的顺序进行处理。

每项任务都有ID和费用。任务是原子的，它们只能通过将等于其成本的时间单位投入到它们中来立即完成（它不可能解决一半的任务）。在每个步骤的开始，有m个时间单位。

我想检查是否可以在给定的步骤d内完成所有任务。

这里有一些图片来说明情况，每个任务都是一个2元组（ID，Cost），链中的任务只能从左到右解决。

以下是分为3组的6个任务的图形示例：

让我们说m = 5（每个步骤中有5个时间单位可用）和d = 4（我们想要检查所有任务是否可以在4个步骤内完成）。可能的解决方案是：

另一种可能的解决方案是：

无效的解决方案是（它完成了5个步骤中的所有任务，我们说限制为4）：

我的问题：

对于给定的：

按组排列的任务
每个步骤提供的多个时间单位m
以及允许的许多步骤d

确定是否可以在d步骤内解决所有任务，如果是，则输出可以解决任务的可能序列（任务ID＆＃39; s），以便<= d步骤完成了。

我目前的做法：

我试图通过回溯找到解决方案。我创建了一个deques列表来模拟组，然后我查看集合A（在当前步骤中可以解决的所有任务，每个组的最左边的元素）并找到所有子集B（A的子集，其总和成本为<= d，并且不能添加任何其他任务，以使成本总和保持<= d）。集合B的子集代表我在当前步骤中考虑解决的任务，现在每个子集代表一个选择，我为每个子集做一个递归调用（探索每个选择），其中我传递了没有B中元素的deques列表（我从deques中删除它们，因为从现在开始我认为它们在递归的这个分支中解决了）。一旦递归深度为> d（超出允许的步数）或找到解决方案（deques列表为空，所有任务都在<= d步骤内解决），递归调用就会停止

PseudoJavaish代码：

// sequence[1] = j means that task 1 is done at step j
// the param steps is used to track the depth of recursion
findValidSequence (ArrayList<Deque> groups, int[] sequence, int steps) {

    if (steps > d)   // stop this branch since it exceeds the step limit d

    if (groups.isEmpty())  // 0 tasks left, a solution is found, output sequence

    Set A = getAllTasksSolvableDuringCurrentStep();

    Set B = determineAllTheOptionsForTheNextStep(A);

    // make a recursive call for each option to check if any of them leads to a valid sequence
    for (each element in B)  
        findValidSequence(groups.remove(B), sequence.setSolvedTasks(B), steps+1);


}

我迷失了，试图正确实现这一点，您如何看待我的方法，您将如何解决这个问题？

注意：

问题非常普遍，因为许多调度问题（m机器和n优先约束作业）可以减少到这样的问题。

Answer 1

以下是计算B的建议。这是一个非常好的观察，它归结为＆＃34;给定一个整数数组，找到其总和为＆lt; = m的所有子集，并且我们不能向其添加来自数组的任何其他元素，使得＆lt; = m未被违反＆＃34;。所以我只解决了这个更简单的问题，相信你会采用适合你情况的解决方案。

正如我在评论中播出的那样，我正在使用递归。每个递归调用都会查看A中的一个元素，并尝试使用该元素和没有该元素的解决方案。

在每次调用递归方法时，我传递A和m，这些在每个调用中都是相同的。我传递了一个部分解决方案，告诉我们当前正在构建的子集中包含哪些先前考虑过的元素，以及为方便起见所包含元素的总和。

/**
 * Calculates all subsets of a that have a sum <= capacity
 * and to which one cannot add another element from a without exceeding the capacity.
 * @param a elements to put in sets;
 * even when two elements from a are equal, they are considered distinct
 * @param capacity maximum sum of a returned subset
 * @return collection of subsets of a.
 * Each subset is represented by a boolean array the same length as a
 * where true means that the element in the same index in a is included,
 * false that it is not included.
 */
private static Collection<boolean[]> maximalSubsetsWithinCapacity(int[] a, int capacity) {
    List<boolean[]> b = new ArrayList<>();
    addSubsets(a, capacity, new boolean[0], 0, Integer.MAX_VALUE, b);
    return b;
}

/** add to b all allowed subsets where the the membership for the first members of a is determined by paritalSubset
 * and where remaining capacity is smaller than smallestMemberLeftOut
 */
private static void addSubsets(int[] a, int capacity, boolean[] partialSubset, int sum,
        int smallestMemberLeftOut, List<boolean[]> b) {
    assert sum == IntStream.range(0, partialSubset.length)
            .filter(ix -> partialSubset[ix])
            .map(ix -> a[ix])
            .sum() 
            : Arrays.toString(a) + ' ' + Arrays.toString(partialSubset) + ' ' + sum;
    int remainingCapacity = capacity - sum;
    if (partialSubset.length == a.length) { // done
        // check capacity constraint: if there’s still room for a member of size smallestMemberLeftOut,
        // we have violated the maximality constraint
        if (remainingCapacity < smallestMemberLeftOut) { // OK, no more members could have been added
            b.add(partialSubset);
        }
    } else {
        // try next element from a.
        int nextElement = a[partialSubset.length];
        // i.e., decide whether  should be included.
        // try with and without.

        // is including nextElement a possibility?
        if (nextElement <= remainingCapacity) { // yes
            boolean[] newPartialSubset = Arrays.copyOf(partialSubset, partialSubset.length + 1);
            newPartialSubset[partialSubset.length] = true; // include member
            addSubsets(a, capacity, newPartialSubset, sum + nextElement, smallestMemberLeftOut, b);
        }

        // try leaving nextElement out
        boolean[] newPartialSubset = Arrays.copyOf(partialSubset, partialSubset.length + 1);
        newPartialSubset[partialSubset.length] = false; // exclude member
        int newSmallestMemberLeftOut = smallestMemberLeftOut;
        if (nextElement < smallestMemberLeftOut) {
            newSmallestMemberLeftOut = nextElement;
        }
        addSubsets(a, capacity, newPartialSubset, sum, newSmallestMemberLeftOut, b);
    }

在一些地方有点棘手。我希望我的评论会帮助你完成它。否则请询问。

让我们试一试：

    int[] a = { 5, 1, 2, 6 };
    Collection<boolean[]> b = maximalSubsetsWithinCapacity(a, 8);
    b.forEach(ba -> System.out.println(Arrays.toString(ba)));

此代码打印：

[true, true, true, false]
[false, true, false, true]
[false, false, true, true]

[true, true, true, false]表示5,1和2的子集。总和为8，因此这恰好符合8的容量（m）。
[false, true, false, true]表示1和6，总和为7，我们无法添加2或者我们会超出容量
最后[false, false, true, true]表示2和6，并且完全符合容量m。

我相信这会在你的限制范围内耗尽可能性。

通过回溯完成d步骤中的n个工作

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