如何用价态约束找到二部图的最大子图？

Question

我有一个二分图。我将参考各个不相交集的红色节点和黑色节点。

我想知道如何找到一个连接的诱导子图，该子图最大化红色节点的数量，同时确保子图中的所有黑色节点的新化合价小于或等于2。 “诱导”意味着如果两个节点在原始图中连接并且都存在于子图中，则它们之间的边缘自动被包括在内。最后我想介绍非负边缘权重。

这可以简化为标准图算法吗？希望是一个具有已知复杂性和简单实现的人。

显然可以贪婪地制作一个子图。但这是最好的吗？

Answer 1

我确信这个问题属于NP-complete class，因此没有简单的方法可以解决它。我建议你使用constraint satisfaction方法。有很多方法可以解决您的问题，例如混合整数编程，MaxSAT甚至pseudo-boolean constraints。

首次尝试时，我会推荐MiniZinc求解器。例如，考虑在MiniZinc中定义和解决图形问题的this示例。

Answer 2

不幸的是，这是NP难的，因此可能没有多项式时间算法来解决它。这是NP难问题Independent Set的减少，其中我们给出了图G =（V，E）（其中n = | V |和m = | E |）和整数k，以及任务是确定是否有可能找到一组k个或更多顶点，使得集合中没有两个顶点被边连接：

• 对于G中的每个顶点v_i，在H中创建一个红色顶点r_i。
• 对于G中的每个边（v_i，v_j），在H中创建以下内容：
  • 黑色顶点b_ij，
  • n + 1个红色顶点t_ijk（1＆lt; = k＆lt; = n + 1），
  • n黑色顶点u_ijk（1＆lt; = k＆lt; = n），
  • n edge（t_ijk，u_ijk）（1＆lt; = k＆lt; = n）
  • n edge（t_ijk，u_ij {k-1}）（2＆lt; = k＆lt; = n + 1）
  • 三条边（r_i，b_ij），（r_j，b_ij）和（t_ij1，b_ij）。
• 对于每对顶点v_i，v_j，创建以下内容：
  • 黑色顶点c_ij，
  • 两条边（r_i，c_ij）和（r_j，c_ij）。
• 将阈值设置为m（n + 1）+ k。

调用所有r_i R的集合，所有b_ij B的集合，所有c_ij C的集合，所有t_ij T的集合以及所有u_ij U的集合。

这里的一般想法是我们强制每个黑色顶点b_ij最多选择2个红色顶点中的1个r_i和r_j，它们对应于G中边（i，j）的端点。我们这样做是通过给每个这些b_ij顶点中有3个输出边，其中一个（t_ij1中的一个）是“必须” - 也就是说，任何t_ij1顶点不选择的解决方案都可以通过选择它，以及它连接的其他n个红色顶点（通过在t_ijk中的顶点和u_ijk中的顶点之间交替的“摆动路径”），去除r_i或r_j以恢复没有黑色顶点的属性3如有必要，可以在解决方案中使用更多邻居，然后根据需要通过从C中选择顶点来最终恢复连通性。 （c_ij顶点是“连接符”：它们的存在只是为了确保我们包含的R的任何子集都可以组成一个连接的组件。）

首先假设在G中存在大小为k的IS。我们将证明在H中存在至少m（n + 1）+ k个红色节点的连通感应子图X，其中每个黑色顶点具有X中最多的2个邻居。

首先，在X中包含来自R的k个顶点，这些顶点对应于IS中的顶点（这样的集合必须通过假设存在）。因为这些顶点形成了一个IS，所以B中没有顶点与它们中的多个顶点相邻，所以对于每个顶点b_ij，我们可以安全地将它添加，并且将从t_ij1开始的2n + 1个顶点的“摆动路径”添加到X中好。这些摆动路径中的每一个包含n + 1个红色顶点，并且有m个这样的路径（G中每个边缘一个），因此现在在X中有m（n + 1）+ k个红色顶点。最后，为了确保X连接后，每个顶点c_ij加上它，使得r_i和r_j都已经在X中：注意这不会改变X中红色顶点的总数。

现在假设在H中有一个连接的感应子图X至少有m（n + 1）+ k个红色节点，其中每个黑色顶点在X中最多有2个邻居。我们将证明有一个IS在G大小为k。

H中唯一的红色顶点是R中的红色顶点和T中的红色顶点.R中只有n个顶点，所以如果X不包含所有m个摆动路径，它必须至多有（m-1）（n + 1）+ n = m（n + 1）-1个红色顶点，与它至少有m（n + 1）+ k个红色顶点的假设相矛盾。因此，X必须包含所有m个摇摆的路径。这在X中留下k个其他红色顶点，它们必须来自R.这些顶点中没有两个可以与B中的相同顶点相邻，因为那个B顶点将与3个顶点相邻：因此，这些k个顶点对应于G中的IS。

由于IS的YES实例意味着构造的问题实例的YES实例，反之亦然，因此构造的问题实例的解决方案完全对应于IS实例的解决方案;由于构造显然是多项式时间，这就证明了你的问题是NP难的。