在二次规划中将变量约束为两个不相交的范围之一

Question

如何解决具有以下约束的二次优化问题：

最小化（1/2）X ^ TQX + C ^ TX

受制于-0.01＆lt; x_i＆lt; 0.01或0.05 < x_i＆lt; 0.20，对于X中的任何x_i

其中Q是矩阵，C，X是向量。

似乎我不能将上述约束重新表述为标准约束约束或不等式约束

Answer 1

注意这里的可行区域是非凸的 - 如果我们有一个可行解x_1 = 0.01而另一个x_1 = 0.05，那么这两个解的任何合适的凸组合将是不可行的。因此，仅使用连续变量将该问题重新表述为标准二次规划是不可能的。

相反，您需要求助于使用二进制变量。例如，我们可以引入二进制变量y_i（每个x_i变量一个）并将问题重新表述为：

Minimize (1/2)X^TQX + C^TX
Subject to -0.01 + 0.06y_i <= x_i <= 0.01 + 0.19y_i, for any x_i in X
y_i binary

注意，现在对于y_i = 0的任何变量，你有-0.01＆lt; = x_i＆lt; = 0.01，对于任何y_i = 1的变量，你有0.05＆lt; = x_i＆lt; = 0.20。