通过向量旋转/乘以旋转矩阵

Question

您如何尽可能安全地用向量旋转现有的3x3旋转矩阵？

数学看起来像这样：

[X] * [1, 0, 0]
[Y] * [0, 1, 0] = New Rotation Matrix
[Z] * [0, 0, 1]

我在没有帮助的情况下浏览了GLM和Eigen。 They only seem to reference 4x4 matrices.

意图：

我基本上试图将现有的3x3 rotation matrix轮换为rotation vector。

我很感激任何意见。

Answer 1

假设您正在处理缩放的轴旋转向量，可以使用AngleAxis：

Matrix3f R1 = ...;
Matrix3f R2 = AngleAxisf(vec.norm(), vec.normalized()) * R1;

当然，您可能希望自己规范化vec，以便只计算一次规范：

float a = vec.norm();
Matrix3f R2 = AngleAxisf(a, vec/a) * R1;

Answer 2

你不能将向量和矩阵相乘并期望矩阵结果。要将3x3矩阵M围绕(0,0,0)和向量W旋转为旋转轴，您需要执行以下操作：

1. 构造表示旋转坐标系的3x3矩阵

   所以你需要3个基础向量U,V,W，它们彼此垂直。我们已经获得W所以利用交叉产品来获取其他产品：

   // normalize
   W = W / |W| 
   // U is any non-zero non-parallel vector to W
   U = (1,0,0)
   if (|dot(U,W)|>0.7) U = (0,1,0)
   // V is perpendicular to U,W
   V = cross(W,U)
   // U is perpendicular to V,W
   U = cross(V,W)
   

   现在从3x3构建U,V,W矩阵，具体取决于您使用的矩阵的布局，它将是其中之一

        | Ux Uy Uz |        | Ux Vx Wx |
   A =  | Vx Vy Vz | or B = | Uy Vy Wy |
        | Wx Wy Wz |        | Uz Vz Wz |
   

   了解更多信息，请参阅：

   • Understanding 4x4 homogenous transform matrices
   • 3x3 non-homogenous transformation matrix

2. 将M转换为A/B

   我习惯 OpenGL ，其数学运算使用B布局，因此我将从现在开始使用它（A和B之间的唯一区别是矩阵是反转的，正交 3D 3x3 旋转矩阵与转置相同）所以从M取每个矢量将它转换为B，就像这样......假设您的M有3个基础向量X,Y,Z，那么

   X' = inverse(B)*X
   Y' = inverse(B)*Y
   Z' = inverse(B)*Z
   

   从M'

构建X',Y',Z'

3. 围绕M'

   旋转z

   所以只需将M'乘以R轴周围的简单旋转矩阵z，即可。{/ p>

       | cos(angle) -sin(angle) 0 |
   R = | sin(angle)  cos(angle) 0 |
       |     0           0      1 |
   
   M''= M' * R(angle)
   

4. M''转换回原始坐标系

   这样：

   X''' = B*X''
   Y''' = B*Y''
   Z''' = B*Z''
   

   并从M构建新的X''',Y''',Z'''。这就是全部。