isPrime算法在输入大小n

Question

我在下面有一个isPrime函数：

public static boolean isPrime(int n) {
    if(n == 1) return false;
    for(int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if(n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

我的问题是：

1. 该算法的渐近运行时间是多少 大小|| n ||输入？
2. 解释为何获得的运行时间 输入大小为“1”指数。

这里我不明白为什么这个算法是指数级的。

  

注意：这个问题是在算法考试中提出的。

Answer 1

首先，我们可以看到算法循环遍历单个语句（if语句）最多sqrt(n)次。因此，它的运行时间与n的值的平方根成正比。

现在，问题是关于输入的大小的运行时间，而不是输入的值。输入大小是用于存储输入的存储量。在这种情况下，输入只是一个数字n。

数字n，以二进制表示时（此参数在任何其他基数中表示时仍然成立）具有log n位，因此循环sqrt(n)次是指数的输入大小，因为输入大小为log n，sqrt(n) = exp(C * log n)为C = 0.5。

因此，我们所显示的算法在输入的大小是指数的。