无法用log和分数计算函数的增长率

Question

我试图在下面的图片中解决有关获得增长率的问题，但我不能。

从我之前学到的，如果有一个分数，我们通常不关心分母，但考虑分子部分，即“2 + 3n”。

因此，从我的角度来看，答案是“2 + 3n＆lt; 2n + 3n = 5n，证人c = 5，k = 1”或“2 + 3n＆lt; n + 3n = 4n，见证c = 4并且k = 2“，两者都导致O（n）。

然而，根据答案，这是不正确的。

你能否展示我如何达到答案的整个计算步骤，Big-theta（root（n）/ log（n））？

Answer 1

您只需关注big O notation definition即可。对于这些，我喜欢使用big O的限制定义：

f(n) is in O(g(n)) if and only if:
lim n-> infinity |f(n) / g(n)| < infinity

然后将其应用于您的问题：

f(n) = (2+3n)/(5sqrt(n)(1+4logn))
g(n) = sqrt(n) / log(n)

只是对结果做一些代数：

lim n-> infinity: |f(n)/g(n)| = 
= |(2+3n)log(n)/(5sqrt(n)(1+4logn)sqrt(n))| <= 
<= |5nlog(n)/5sqrt(n)(1+4logn)sqrt(n))| = 
= |nlogn/ (sqrt(n) * sqrt(n) * (1+4logn)| = 
= |nlogn / n(1+4logn)| = 
= |logn / (1+4logn)| <= |logn / 4logn| = 1/4 < infinity

由此，以及大O表示法的定义，证明f(n)在O(g(n))中。您可以通过显示lim n->infinity |g(n)/f(n)| < infinity同样显示大型欧米茄，并且通过显示O(g(n))和Omega(g(n))，您可以断定这是紧密绑定（Theta(g(n)）。