Floyd-Warshall和矩阵乘法图算法有什么区别？

Question

我必须解决以下问题：编写一个程序，给定带有成本和两个顶点的有向图，找到给定顶点之间的最低成本步行，或者如果图中存在负成本周期则打印一条消息。程序应使用矩阵乘法算法。

我实现了定义的矩阵乘法算法：伪矩阵乘法，其中加法被最小化替换，乘法加法。但通过这样做，我最终得到了Floyd-Warshall算法。另外，我不能通过这种方式轻松确定负成本周期的存在。

我认为我的算法和实际矩阵乘法图算法之间存在重大差异，但究竟是什么呢？

Answer 1

1. 您可以使用Floyd-Warshall确定是否存在负循环：

https://en.wikipedia.org/wiki/Floyd%E2%80%93Warshall_algorithm#Behavior_with_negative_cycles

  

尽管如此，如果存在负面循环，那么Floyd-Warshall   算法可用于检测它们。直觉如下：

     

  
• Floyd-Warshall算法迭代地修改所有顶点对（i，j）之间的路径长度，包括i = j;
  
• 最初，路径（i，i）的长度为零;
  
• 路径[i，k，...，i]只有在长度小于零的情况下才能改进，即表示负循环;
  
• 因此，在算法之后，如果存在从i回到i的负长度路径，则（i，i）将为负。
  

1. 两种算法之间存在一些差异：

   • 矩阵算法可以找到具有特定边数的最小路径（例如，找到边数为＆lt; = k的所有顶点对之间的最小路径），FW不能。

   • 矩阵乘法算法需要额外的O（n ^ 2）空间，Floyd-Warshall可以就地使用。

   • 矩阵乘法算法具有O（n ^ 3 * log（n））复杂度repeated squaring或O（n ^ 4），实现简单，Floyd-Warshall复杂度为O（n ^ 3）