二维离散傅立叶变换的复杂性

Question

我对2D傅里叶变换有疑问。我目前正在理解这背后的数学，并且有一些我不理解的东西。就我而言，DFT的复杂度为O(N*N)。如果我查看以下算法：

我不明白它是如何运作的。我们是否要对转换后的图像中的每个像素进行此计算？

示例

1. 我们有2 * 2的图像。
2. 对于此图片中的每个像素，我们将进行DFT F（x，y）
3. 我将创建一个新图像，每个像素是相应复数值的大小

这是它的工作原理还是我错过了什么？因为我现在看到它的方式，它的复杂性为O(N^4)

Answer 1

等式意味着“在像素（u，v）处获得F的值，评估（右侧的公式）。”因此，要获得整个变换后的图像，需要对变换后的图像中的每个像素进行评估。

要计算DFT，使用公式，您需要为每个输出值的每个输入值执行O（1）计算。 （对于某些类型的数据，还有其他更快的算法。）在2D DFT情况下，算法具有复杂度O（（M * N）^ 2），因为输入像素的数量是M * N而且数量是输出像素也是M * N.

编辑：通过在单独的步骤中变换行和列，可以在O（NM ^ 2 + MN ^ 2）中计算2D矩阵DFT。算法在这里：http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/Image_Processing/node6.html