总和的总和是多少？

Question

Σ从i = 1到n（n）（n + 1）/ 2

给定n的计算上限是多少？是O（n ^ 3）O（n ^ 2）？

示例：

n=1 , sum =1
n=2 , sum= 1+ 1+2 ,   sum = 4
n=3, sum= 1+1+2+1+2+3, sum = 10
n=4, sum = 1 + 1+2 + 1+2+3 + 1+2+3+4 = 20
n= 5, sum = 1+ 1+2 +1+2+3 +1+2+3+4 + 1+2+3+4+5 , sum = 35 
...
n=10,  sum = ..... , sum = 220 

等，那么这个计算的上限是N的函数？它是：

为O（n ^ 3）？

Answer 1

我认为你的意思是Σ_{1≤ i ≤ n} i （ i + 1）/ 2，因为Σ_{1≤ i ≤ n} n （ n < / i> + 1）/ 2只是 n ²（ n + 1）/ 2，我相信你可以亲眼看到。

无论如何，当你能准确计算总和时，为什么还要忍受渐近增长率呢？

  

Σ_{1≤ i ≤ n} i （ i + 1） / 2

     

=½Σ_{1≤ i ≤ n} （ i ²+ i ）

     

=½（ n （ n + 1）（2 + 1）/ 6 + n （ n + 1）/ 2）

     

= n ³/ 6 + n ²/ 2 + n / 3

OEIS将这些数字（1,4,10,20，......）称为“tetrahedral numbers”。

Answer 2

是O（n ^ 3）。

要确定这是真的，您可以将其视为三角形金字塔。

Answer 3

我们可以将n(n+1)/2估算为n^2。所以我们的总和为1^2 + 2^2 + ... + n^2，即n(n+1)(2n+1)/6，可以近似为n^3。所以上限是n^3。

Answer 4

总和的确切公式为1/6*n*(n+1)*(n+2)，即O(n^3)。

Answer 5

是的，在k = 1,2，...，n上求和度d的一些多项式，得到n次为d + 1的多项式。由于 k(k+1) / 2在k中的度数为2，因此在n中它的和为2 + 1 = 3。

Answer 6

您是要求以下总和的计算复杂度，还是要求总和的 big-O bound ？

第二个是O（n ^ 3），就像人们已经注意到的那样，但是对于计算总和，你只需要线性的加法和乘法量。您可以重新组合加数并将总和重写为

n*1 + (n-1)*2 + ... + 1*n

显然可以用O（n）计算总和。

哦，Gareth注意到总和有封闭形式的表达式，它在不变的时间内计算。