为什么我使用4th Runge-Kutta的代码不能给我预期的值？

Question

我在尝试理解代码错误方面遇到了一些麻烦，任何帮助都会非常有帮助。 我想解决这个简单的等式

然而，我的代码给出的值与我的书或wolfram的值不匹配，因为随着x的增长，y会上升。

import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import exp
from scipy.integrate import ode

# initial values 
y0, t0 = [1.0], 0.0

def f(t, y):
    f = [3.0*y[0] - 4.0/exp(t)]
    return f

# initialize the 4th order Runge-Kutta solver
r = ode(f).set_integrator('dopri5')
r.set_initial_value(y0, t0)

t1 = 10
dt = 0.1
x, y = [], []
while r.successful() and r.t < t1:
    x.append(r.t+dt); y.append(r.integrate(r.t+dt))
    print(r.t+dt, r.integrate(r.t+dt))

Answer 1

你的等式通常有解决方案

y(x) = (y0-1)*exp(3*x) + exp(-x)

由于初始条件的选择，确切的解决方案不包含第一项的增长成分。然而，由于离散化和浮点误差引起的小扰动将在增长期内产生非零系数。现在在积分区间结束时，此随机系数乘以exp(3*10)=1.107e+13，这会将大小为1e-7的小离散化误差放大到运行原始大小时观察到的大小1e+6结果中的贡献代码。

您可以通过设置错误阈值来强制积分器在其内部步骤中更精确，而不会降低输出步长dt，如

r = ode(f).set_integrator('dopri5', atol=1e-16, rtol=1e-20)

然而，由于大小为1e-16的浮点错误被放大为大小为1e-3的全局错误贡献，因此无法完全避免结果恶化。

此外，您应该注意到r.integrate(r.t+dt)的每次调用都会使积分器前进dt，以便存储的数组和打印值处于锁定状态。如果您只想打印积分器的当前状态，请使用

    print(r.t,r.y,yexact(r.t,y0))

其中最后一个是与确切的解决方案进行比较，如前所述，

def yexact(x,y0): 
    return [ (y0[0]-1)*exp(3*x)+exp(-x) ]