Question

这对我来说一直是个挑战。

给定两个表示二进制数的数组，A和C具有相同的大小，由数字0或1表示的比特组成，使得C> 1。 A，并且两者具有相同的X比特1比特，计算存在多少二进制数B的最有效方式是什么，使得A <1。 B＆lt; C，并且每个B也有X个1位？

示例：对于A = {0,1,0,0,1} C = {1,0,1,0,0} X = 2
所有B都是{0,1,0,1,0}，{0,1,1,0,0}，{1,0,0,0,1}，{1,0,0,1,0 }，这将给我答案4.在01001和10100之间有4个2'1'位的二进制文件。

我有一个算法来生成给定A的下一个B，但我觉得继续生成下一个B并且检查我是否已经击中C二进制文件并不高效。

有没有办法在不生成B的情况下计算A和C之间B的确切数量？

Answer 1

不知道你是否在https://math.stackexchange.com/得到了答案，但让我去试一试。

在下面的所有讨论中，我们只对X 1位的数字感兴趣。我不会一直这么说，为了让它更简单。

因此，我们假设我们可以计算低于给定值A的数字计数：smaller(A)。要查找A和C之间的数字计数，我们可以将其计算为smaller(C) - smaller(A) - 1。

让我们定义一个函数，该函数计算在Y位空间{1}中存在多少个X位的数字，例如count(X, Y)（count(1, 3) = 3，001，010）和100（count(2, 3) = 3，011，101）。这是标准组合数学，即从袋子中拉出编号为1到Y的X球的组合数。

其中count(X, Y) = Y! / ((Y-X)! * X!)为X!。

现在我将展示下一部分，如何使用示例计算factorial(X)。让smaller(A)。

首先，计算右边的0（2）。然后有A = 010010100个数字count(1, 2)以下，其中最右边的1位移到右侧（A，010010010）。

删除该1位，留下010010001。

提示：使用A = 010010000

重复，即计数0（4），但这次我们需要计算2位组合，即A = A ^ (1 << count)。

离开count(2, 4)，这会导致A = 010000000。

因此，因为1位位于第2,4和7位，我们可以计算：

count(3, 7)

现在，通过smaller(A) = count(1, 2) + count(2, 4) + count(3, 7)的高效实现，计算A和C之间的数字计数应该不会太糟糕，即使对于高位数也是如此。

无论如何，这是一种方法，但数学方面的天才可能有更好的算法。