使用Python或其他软件进行指数方程的数值解

Question

我想找到以下指数方程的数值解，其中a，b，c，d是常数，我想求r，它不等于1.

a ^ r + b ^ r = c ^ r + d ^ r（等式1）

我定义了一个函数，以便使用Scipy.optimize.fsolve：

    from scipy.optimize import fsolve
    def func(r,a,b,c,d):
        if r==1:
            return 10**5
        else:
            return ( a**(1-r)  +  b**(1-r) ) - ( c**(1-r)  + d**(1-r)  )


    fsolve(funcp,0.1, args=(5,5,4,7))

然而，fsolve总是返回1作为解决方案，这不是我想要的。有人可以帮我解决这个问题吗？或者一般来说，告诉我如何解决（等式1）。很久以前我使用过在线数值求解器，但我再也找不到它了。这就是我试图用Python解决问题的原因。

Answer 1

在选择初始猜测时，您需要应用一些数学推理。考虑你的问题f（r）=（5 ^1-r + 5 ^1-r ） - （4 ^1-r + 7 ^1-R ）

当r≤1时，f（r）总是负的并且减小（因为7 ^1-r 比其他项更快地增长）。因此，所有根寻找算法将被推向1，直到达到本地解决方案。

你需要选择一个远离1的点来找到非常重要的解决方案：

>>> scipy.optimize.fsolve(lambda r: 5**(1-r)+5**(1-r)-4**(1-r)-7**(1-r), 2.0)
array([ 2.48866034])

简单地设置f（1）= 10 ⁵ 不会产生任何影响，因为根寻找算法不会检查f（1）直到最后一步^（注释）

如果您希望应用惩罚，则必须将惩罚应用于1左右的值范围。在不影响其他根的位置的情况下，这样做的一种方法是将整个函数除以（r - 1） ：

>>> scipy.optimize.fsolve(lambda r: (5**(1-r)+5**(1-r)-4**(1-r)-7**(1-r)) / (r-1), 0.1)
array([ 2.48866034])

（注意）：它们可能像f（0.1）→f（0.4）→f（0.7）→f（0.86）→f（0.96）→f（0.997）→......一样爬升，并且| f一直停止（ X）| ＆LT; 10 ^-5 ，所以永远不会评估你的f（1）

Answer 2

您的第一个代码似乎使用了与您的问题不同的等式：1-r而不仅仅是r。

等式的有效答案为1和2.4886，大概如here所示。使用fsolve的第二个参数，您可以指定starting estimate。我认为由于0.1接近1，你会得到这个结果。使用2.1作为起始估算值，我得到另一个答案2.4886。

from scipy.optimize import fsolve

def func(r,a,b,c,d):
    if r==1:
        return 10**5
    else:
        return ( a**(1-r)  +  b**(1-r) ) - ( c**(1-r)  + d**(1-r)  )

print(fsolve(func, 2.1, args=(5,5,4,7)))

选择起始估算非常棘手，因为许多人都会出现以下错误：ValueError: Integers to negative integer powers are not allowed.