Question

有向图被称为＆＃39; at-least-one-way-connected ＆＃39;如果，对于图表中的每两个节点u和v，请选择u到v的路径或v的路径至u（或两者）是否有时间复杂度算法O(m + n)来解决这个问题？

Answer 1

为了构建整体解决方案，让我们从这个问题的更简单版本开始。假设您知道输入图是有向无环图（DAG）。在这种情况下你怎么能解决这个问题？好吧，如果DAG有两个不同的源节点，那么它就不可能至少是单向连接（ALOWC），因为它不会是从这些源节点之一到其中一个的路径。其他。如果DAG确实具有单个源节点，则存在从该节点到DAG中的每个其他节点的路径。这意味着如果图中的每一对节点都是ALOWC，则整个图是ALOWC，我们可以通过删除该源节点并递归查看我们剩下的图来确定。换句话说，我们的算法看起来像这样：

while (the graph has more than one node) {
    if (the graph has more than one source node) return false;
    else find and remove a source node;
}

有效实现此算法的一种方法是首先找到indegree 0的节点。从那里，我们可以从图中删除它并减少每个后继的indegree。然后我们可以看到那些剩下的继承者，这些继承人有0，并从那里开始。这是一些伪代码：

/* Compute indegrees. */
for (each node u) {
    u.indegree = 0;
}
for (each edge (u, v) in the graph) {
    v.indegree++;
}

/* Find a node with indegree 0. */
Node source = null;
for (each node u in the graph) {
    if (u.indegree == 0) {
        if (source != null) return false; // Two sources
        source = u;
    }
}

/* Repeatedly remove the source node, update indegrees, and find the
 * next node to process.
 */
while (there is more than one node) {
    /* Simulate removing the source node by decrementing the indegree
     * of each of its children.
     */
    Node next = null;
    for (each edge (source, v)) {
        v.indegree--;
        if (v.indegree == 0) {
            if (next != null) return false; // Two sources discovered
            next = v;
        }
    }

    source = next;
}
return true;

该算法在时间O（m + n）运行：将计数设置为0需要时间O（n），将时间O（m）初始化为正确值，时间为O（m + n）对于循环，因为每个节点最多被设置为一次源，并且每个边最多访问一次。

所以现在我们有一个算法可以解决DAG的这个问题，但是一般图表呢？好消息是，通过查看图形和图形strongly connected components的condensation，可以将此问题的更一般版本转换为DAG上的问题。（如果您之前没有看过这些概念，我认为您最好的选择是搜索一下这些概念，因为我不认为我可以在这里给出完整的解释。）

关键见解如下：当且仅当其凝结 ALOWC时，图G才是ALOWC。要知道为什么这样，首先假设冷凝是ALOWC，然后在G中选择任意两个节点u和v。如果u和v强连接，那么从u到v的路径是，所以他们＆＃ 39;重新开始。另一方面，如果u和v没有强连接，那么由于凝结是ALOWC，那么从包含u的SCC到包含v的SCC的路径或者在凝结中反之亦然，那条路径给出原始图G中从u到v（或反之亦然）的路径。

另一方面，如果G是ALOWC，那么如果我们形成它的凝聚，那么得到的DAG必须是ALOWC，因为在DAG中给出了任何两个SCC C1和C2，如果我们在C1和某个节点中选择一个节点u v来自G的C2，然后是从u到v或v到u的路径，因此在缩合中有从C1到C2的路径，反之亦然。

所以这为这个问题提供了一个非常干净的O（m + n）时间算法：

使用标准线性时间算法（如Tarjan's algorithm或Kosaraju's algorithm）计算图G的缩合。
使用上述DAG算法检查凝结是否为ALOWC，并返回该答案。

此算法中的每一步都需要时间O（m + n），因此总运行时间也为O（m + n）。

希望这有帮助！

检查图表是否至少是单向连接的

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