将位置绘制成不规则矩形

Question

我有4个Point值：TopLeft，TopRight，BottomLeft，BottomRight。这些在我的显示器上定义了一个4面形状（如扭曲的矩形）。这些是Tobii注视设备认为我正在看的事实，我实际上正在看我的显示器的四个角落。

此图显示左侧的位图代表我的显示器，以及Tobii设备告诉我的点我正在查看当我实际上正在看屏幕的角落时。 （这是一种表达，而不是真实的。）

我想使用这四个校准点从不准确的注视位置拍摄屏幕X，Y位置并对其进行校正，使其按照右侧图像定位。

Answer 1

编辑：最后编辑问题的新解决方案。

此问题是致电bilinear interpolation 一旦你掌握了这个想法，它就会很容易，你会在余生中记住它 在这里发布所有细节会很漫长，但我会尝试。

首先，我将左侧的点命名为(x,y)，将右侧的值命名为(X,Y)。

让(x1,y1)，(x1,y2)，(x2,y1)，(x2,y2)成为左边矩形的角点。

其次，让我们将问题分解为2个双线性插值问题：

• 想找到X
• 想找Y

让我们逐个找到它们（X 或 Y）。

定义：Qxx是右方矩形中四角的X 或 Y的值。

  

假设我们想要找到未知函数f的值   点（x，y）。假设我们知道f的值   四点Q11 =（x1，y1），Q12 =（x1，y2），Q21 =（x2，y1），Q22 =   （x2，y2）。

问题的f(x,y)在您的问题中为X 或 Y。

然后以同样的方式将f(x,y1)和f(x,y2)插入f(x,y)。

最后，您将获得X 或 Y = f(x,y)

参考：此处的所有图片/公式/文字都是从维基链接复制的（有些是经过修改的。）

编辑：问题编辑完成后，变得非常不同  新的相反，它被称为“逆双线性插值”，这是更难的  有关详细信息，请阅读http://www.iquilezles.org/www/articles/ibilinear/ibilinear.htm

Answer 2

您可以使用6个方程定义唯一的线性变换。必须对齐的3个点提供了这6个方程，因为每对匹配点在x和y中提供了两个方程。

如果你想追求这个，我可以提供矩阵方程，它根据它如何映射三个点来定义线性变换。您反转此矩阵，它将提供线性变换。

但是，完成后，转换已完全指定。您无法控制原始四边形的角点将在何处。通常，您甚至无法定义线性变换以将一个四边形映射到另一个四边形;这给出了8个方程（每个角2个），只有6个未知数。它超指定。实际上，线性变换必须始终将矩形映射到平行四边形，因此通常您无法定义将一个四边形映射到另一个四边形的线性变换。

因此，如果它不能成为线性变换，那么它可以是非线性变换吗？嗯，是的，但是非线性变换不一定将直线映射到直线，因此四边形的映射边缘不会是直的。或任何其他线路。而且你仍然有14个方程式（每个点和角2个），你必须发明一些非线性变换，包含14个未知数。

因此，使用线性变换无法解决所述问题;它超过指定。使用非线性变换将需要设计具有14个自由变量的非线性变换（相对于线性变换中的6），这将正确映射7个点，但直线将不再是直线。添加此要求会增加无限数量的约束（对于行中的每个点都有一个约束），您甚至无法使用连续函数。

对于您正在尝试做的事情（即潜在的应用程序需求），您可能会有一些解决方案，但作为一个数学问题，它是无法解决的。

如果您希望矩阵方程根据它如何转换3个点来生成线性变换，请告诉我。