Question

我无法了解如何从这个问题开始：

图形有n个顶点和m个边。没有两个顶点可以通过多个边连接.Rahul开始玩游戏：他以下列方式改变边缘 -

他选择一个顶点，并将该顶点的边添加到边不存在的所有其他顶点。
同时删除该顶点的所有预先存在的边。

只有在每两个顶点之间存在直接边缘时，此游戏才会停止。你需要确定是否有可能完成这个游戏，或者无论他做出什么动作，这是否永远不会发生。

输入：将给出图的初始状态。输出：＆＃34;是＆＃34;或＆＃34;不＆＃34;

有人可以提示如何开始吗？

Answer 1

1）移动顺序无关紧要（因为你可以将任意两个后续移动换成相同的结果）; 2）具有相同顶点的两个后续变化具有零效果;
3）你可以进入最终状态iff。你可以在那里改变任何顶点不超过一次;
4）任何两个连接的顶点必须都被改变或两者都没有改变，任何两个未连接的顶点都应该被改变。

在图表中选择已连接的组件。那里的顶点应该全部改变或全部保持不变。如果组件未完全连接，则无法完成游戏。如果至少有三个连接组件，则无法完成游戏。如果恰好有两个完全连接的组件，则应更改其中一个组件中的所有顶点。

答案：当且仅当图表已经完全连接或由两个完全连接的组件组成时，游戏才能完成。（很容易看出，当图形由两个完全连接的组件组成时，更改顶点可以有效地将其从一个组件移动到另一个组件。）

检查答案的算法：假设我们获得了多个顶点n，然后是(a,b)形式的a和{{1}格式的边列表是来自[1，n]的顶点数。让b成为记录数组vertices，使用(num_edges, connected, sample)初始化（(0,k,k)是顶点数）。然后为每个边缘（A，B）：

按k;

num_edges

如果1等于A.sample，请转到下一个边缘;
交换B.sample和A.connected，从B.connected顶点集A.connected开始到sample，然后关注A.sample直到达到B;到了下一个边缘。

最后检查从connected和1开始的所有顶点是否具有相同的connected（它们的数字-1）以及类似循环的所有剩余顶点。时间应为O（max（n log（n），m）），存储器O（n）。

Answer 2

具有 n 顶点的求解图将是一个完整的图 k _n ，½n（n-1）边缘。

翻转顶点的状态意味着顶点与图形断开连接，并且有两个断开的完整子图 K ₁ 和 K < sub>（n-1） ，分别包含 0 和½（n-1）（n-2）边。< / p>

翻转其他顶点的状态将使每个顶点与包含它的完整子图断开连接，并将其连接到另一个完整子图的所有顶点。所以，通常情况下，如果 x 顶点有翻转状态，那么将会有两个完整的子图 K _x 和 K _（nx） 分别带有½x（x-1）和½（nx）（n-1-x）边总共 m =½n（n-1） - nx + x（x-1）边缘。

如果我们知道 m 和 n 那么我们可以求解二次方程来找出解决问题所需的移动次数 x ：

x = ( n - SQRT( 4m + 2n - n² ) ) / 2

如果 x 是非整数，则拼图无法解决。

如果 x 是一个整数，那么拼图可以在 x 移动中解决，但需要进行额外的检查以查看是否存在两个断开连接的完整子图 K _x 和 K _（nx） 。

<强>算法：

计算x;如果它不是整数，则图形不可解。 [复杂性：O(1)]
选择一个随机顶点：
- 其学位应为(x-1)或(n-x-1);如果不是那么图表是不可解的。
- 生成所有相邻顶点的列表。 [复杂性：O(n)]
- 从该顶点执行深度优先（或广度优先）搜索。 [复杂性：O(n+m)]
- 如果访问的边数是½x（x-1）或½（nx）（n-1-x）（对应于原始程度）顶点）并且没有访问与原始图像不相邻的顶点，然后子图完成，您知道图形是可解的;如果任何一个条件不为真，则图表不可解决。
要确定您可以对其他子图执行相同的操作，但这是不必要的。

<强>实施例：

由于 x =（4 - SQRT（0））/ 2 = 2 ，因此n=4,m=2带边(1,2)和(3,4)的图表是可解的整数，并且有两个 K ₂ 断开连接的子图。

带边n=4,m=3，(1,2)，(2,3)的{{1}} x =（4 - SQRT（4））/ 2 = 1 ，一个整数，但只有一个连接的非完整图，当应该有两个断开的 K ₁ 和 K ₃ 子图。

图论：它会停止吗？

2 个答案: