Question

我有一个长度为n的数组A和长度为B的数组m。我必须找到以下值。

 long ans=0;
 for(int i:B)
    {
           xor=0;
           for(int j:A) xor+=j^i;
           ans+=xor
    }
print ans

时间复杂度 O（N * M ）。总之，我必须找到这个值

（A1 ^ B1 + A2 ^ B1 + A3 ^ B1 + A4 ^ B1 + A5 ^ B1 .....）+（A1 ^ B2 + A2 ^ B2 + A3 ^ B2 + A4 ^ B2 + A5 ^ B2 .....）+（A1 ^ B3 + A2 ^ B3 + A3 ^ B3 + A4 ^ B3 + A5 ^ B3 ......）......等等
如何以更好的时间复杂度找到这个值？我认为 XOR不是关联的所以我们不能采取简单的方法吗？

Answer 1

考虑一个特定的位（比如说第10位）。假设数组的长度为100，并且在A中设置了第19个第10位的元素，在B中设置了第10个第10位的元素。集合(A[i]^B[j] for i=1..N, for j=1..M)中有多少元素将设置第10位？好吧，它需要A[i]中设置的位而不是B[j]中的位，反之亦然。所以有19 *（100-22）+（100-19）* 22个元素，第10位设置。这个计算表明我们可以有效地逐位执行求和。

更确切地说，假设您有32位整数。对于0..31中的每个i，让我们用该位设置计算A和B的元素数。假设我们在A中有一个[i]元素，在B中有b [i]个元素，并且第i位被设置。

使用与上面相同的想法，这些第i位的xor之和将对整体结果贡献(a[i]*(len(B)-b[i]) + (len(A)-a[i])*b[i]) << i。

这为您提供了一个简单的O（（N + M）k）解决方案（其中k是数组中任何int中最大的位数）。

这是一些实现这个想法的Python代码，包括针对天真版本的一些随机测试：

def sum_xor(A, B):
    s = 0
    for i in xrange(32):
        ai = sum((a >> i) & 1 for a in A)
        bi = sum((b >> i) & 1 for b in B)
        s += (ai*(len(B)-bi) + (len(A)-ai)*bi) << i
    return s

def sum_xor_slow(A, B):
    s = 0
    for a in A:
        for b in B:
            s += a^b
    return s

import random

all_ok = True
for trials in xrange(100):
    A = [random.randrange(1<<32) for _ in xrange(random.randrange(100, 110))]
    B = [random.randrange(1<<32) for _ in xrange(random.randrange(100, 110))]
    x0 = sum_xor(A, B)
    x1 = sum_xor_slow(A, B)
    ok = x0 == x1
    all_ok = all_ok and ok
    print 'OK' if ok else 'FAIL', x0, x1
assert all_ok

一个实用的注释：在A和B上迭代一次可能会更快，并且在两个数组中一次性累加32位计数，因为这样可以最大限度地减少内存读取。（事实上，这是我的代码的第一个版本的工作方式）。但是我将代码更改为上面的代码，因为它更简单，并且具有相同的复杂性。

Answer 2

这是一个建议：

let zeroes = number of zeroes in A;
let ones = number of ones in A;
let sum = 0;

for every i in B:
    if i == 0:
        sum += ones
    else:
        sum += zeroes
print sum;

如果我没有弄错的话，这个算法应该是O（N + M）。

查找数组的Xor

2 个答案: