Question

我正在解决几何约束优化问题。优化中的变量是一组向量的x-y分量。目标函数在这些变量中是二次的。

但是，我需要约束矢量子集的幅度的和。

具体来说，假设该子集由{v1，v2，...，vn}

组成

我需要解决方案来满足

|| || V1 + || v2 || + .... + || vn || ＆LT; →

如果它只是一个矢量，我可以将两边平方以获得二次约束并将问题框架为QCQP

v1.x * v1.x + v1.y * v1.y＆lt; L *→

但是，我有多个向量。那么有没有办法以这样的方式表达约束，即我可以应用比一般非线性约束优化更具体的技术？或者考虑到我的目标函数可以通过分析最小化，通过

解决问题是否有意义

忽略约束并获得目标函数的最佳值x *
以数字方式将x *投影到约束流形上以获得满足约束条件的最终解决方案？

Answer 1

不确定你的优化问题还有什么，但是限制你的规范的任务是非线性的但是凸的，这样可以有效地解决问题。

使用外部库可以像这样对其进行原型设计。这里使用https://code.msdn.microsoft.com/XmlLite-XML-node-writer-4472022a/sourcecode?fileId=51211&pathId=2033671260（python）。

有许多类似的库遵循相同的想法，如：cvxopt（python），picos（python），yalmip（matlab），convex.jl（julia）。官方求解器-API通常更低级别，还有更多工作要做。在中间还有JuMP（朱莉娅）。

from cvxpy import *

L = 10.0
V = Variable(3,5)  # 3 vectors

constraints = []
constraints.append(sum_entries(norm(V, axis=1)) <= L)

objective = Maximize(sum_entries(V))
prob = Problem(objective, constraints)
prob.solve()
print("status:", prob.status)
print("optimal value", prob.value)
print("optimal var", V.value)
print('constr: ', sum_entries(norm(V, axis=1).value))

输出：

status: optimal
optimal value 22.36067971461066
optimal var [[ 1.49071198  1.49071198  1.49071198  1.49071198  1.49071198]
 [ 1.49071198  1.49071198  1.49071198  1.49071198  1.49071198]
 [ 1.49071198  1.49071198  1.49071198  1.49071198  1.49071198]]
constr:  sum_entries([[ 3.33333332]
 [ 3.33333332]
 [ 3.33333332]])

以上内容自动转换为cvxpy，可以通过商业解算器或开源解算器（如ECOS和SCS）解决。

这种转换也向我们证明，这个问题是凸的（通过构造）！该方法称为SOCP-form。

根据您的库/软件选择，您必须手动执行此转换。当你引入一些辅助变量来收集你的向量规范时，应该不是那么难。在Gurobi中，您只需要使用基本的 SOCP约束 Disciplined Convex Programming 。

备注： || v1 || + || v2 || + .... + || vn || ＆LT; L是可怕的，因为数值优化通常只关心<=。其他一切都需要诡计（epsilon-values ...）

修改

这是一个纯粹的Gurobi方法，它可以让你对如何通过支持类似Gurobi API的类似功能的更低级库实现这一点（我在考虑Mosek和CPLEX而不知道那些API很多; i认为Mosek是完全不同的。）

from gurobipy import * import numpy as np L = 10.0 # Model m = Model("test") # Vars v = np.empty((3,5), dtype=object) for i in range(3): for j in range(5): v[i, j] = m.addVar() # by default >= 0; it's just an example norm_v = np.empty(3, dtype=object) for i in range(3): norm_v[i] = m.addVar() # aux-vars to collect norms m.update() # make vars usable for posting constraints # Constraints for i in range(3): m.addQConstr(np.dot(v[i, :], v[i, :]), GRB.LESS_EQUAL, norm_v[i] * norm_v[i]) # this is the SOCP-constraint for our norm m.addConstr(np.sum(norm_v) <= L) # gurobi-devs would propose using quicksum # Objective m.setObjective(np.sum(v), GRB.MAXIMIZE) # Solve m.optimize() def get_val(x): return x.X get_val_func = np.vectorize(get_val) print('optimal var: ', get_val_func(v))

输出：

Optimal objective 2.23606793e+01 optimal var: [[ 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195] [ 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195] [ 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195 1.49071195]]

在约束优化中对一组向量的大小的SUM进行约束

1 个答案: