整合功能

Question

我有这个功能来达到一定的1维值加速和过冲阻尼。即：给定初始值，速度和加速度（力/质量），通过加速到达目标值并在接近目标值的同时逐渐减弱目标值。

这一切都运行正常，如果我想知道TotalAngle在时间't'之后是什么我必须运行这个函数说N步骤用'小'dt找到'限制'。 我想知道我是否可以（以及如何）在dt上进行整合，以便在最初的时间't'确定TotalAngle。

问候，坦克可以提供任何帮助。

dt = delta time step per frame
input = 1
TotalAngle = 0 at t=0
Velocity   = 0 at t=0

void FAccelDampedWithOvershoot::Update(float dt, float input, float& Velocity, float& TotalAngle)
{
const float Force = 500000.f;
const float DampForce = 5000.f;
const float MaxAngle  = 45.f;
const float InvMass   = 1.f / 162400.f;

float target  = MaxAngle * input;
float ratio   = (target - TotalAngle) / MaxAngle;
float fMove   = Force * ratio;
float fDamp   = -Velocity * DampForce;

Velocity   += (fMove + fDamp) * invMass * dt;
TotalAngle += Velocity * dt;
}

Answer 1

这不是一个完整的答案，我相信其他人可以解决，但评论中没有空间，它可能会帮助您找到更好的解决方案。

下图显示了功能在时间步骤1中积分时的速度（蓝色）。红色显示下面的函数，用于计算时间t的值

函数F（t）

F(t) = sin((t / f) * pi * 2) * (1 / (((t / f) + a) ^ c)) * b

使用f = 23.7，a = 1.4，c = 2和b= 50给出上图中的红色图

所有值都只是近似值。

f确定频率并接近匹配， a，b，c控制振幅的衰减，并且是一个眼睛的猜测。

如果你有完美的匹配并不重要，那么这对你有用。 totalAngle使用相同的函数但添加了0.25。遗憾的是，我没有为a获取b，c，totalAngle的任何值，我确实注意到它已被偏移，因此您必须添加偏移值{{ 1}}（我将所有内容规范化，因此不知道d的范围是什么）

totalAngle

的函数F（t）

totalAngle

抱歉，只有F(t) = sin(((t+0.25) / f) * pi * 2) * (1 / ((((t+0.25) / f) + a) ^ c)) * b + d，f = 23.7，c= 2 b =什么都没有？ d =？

Answer 2

更新，修复了数学

中的错误

最初我已经失去了质量和MaxAngle几次。这就是为什么你应该首先在纸上解决它然后进入SO而不是试图在文本编辑器中解决它。

无论如何，我已经修好了数学，现在似乎工作得相当好。我把固定解决方案放在前一个解决方案上。

嗯，这看起来像牛顿力学，这意味着微分方程。让我们试着解决它们。

SO对数学公式不是很友好，我输入字符有点无聊所以这就是我用的：

• F = Force
• Fd = DampForce
• MA = MaxAngle
• A = TotalAngle
• v = Velocity
• m = 1 / InvMass
• '对于衍生工具，something'是t和something''的第一阶导数，是第二衍生物

如果我将最后两行代码除以dt并合并我可以得到的所有其他行（我还假设input = 1，因为其他情况显然是对称的）

v' = ([F * (1 - A / MA)]  - v * Fd) / m

并应用A' = v我们得到

m * A'' = F(1 - A/MA)  - Fd * A' 

或向一侧移动我们得到一个简单的二阶微分方程

m * A'' + Fd * A'  + F/MA * A  = F

IIRC，解决它的方法是先解决这里的特征方程

m * x ^ 2 + Fd * x + F / MA = 0

x [1,2] =（-Fd +/- sqrt（Fd ^ 2 - 4 * F * m / MA））/（2 * m）

我希望sqrt下的部分即(Fd^2 - 4*F*m/MA)为负数，因此解决方案应采用以下形式。让

Dm =  Fd/(2*m)
K =  sqrt(F/MA/m - Dm^2)

（注意sqrt下的否定值，所以现在可以正常工作）然后

A(t) = e^(-Dm*t) * [P * sin(K*t) + Q * cos(K*t)] + C

其中P，Q和C是一些常量。

该解决方案更容易找到两种解决方案的总和：

的一些特定解决方案

m * A'' + Fd * A'  + F/MA * A  = F

和homogeneou的一般解决方案

m * A'' + Fd * A'  + F/MA * A  = 0

使原始条件适合。显然，具体的解决方案A(t) = MA起作用，因而C = MA。所以现在我们需要使P和Q通用解决方案符合起始条件。要找到它们，我们需要

A(0) = - MA
A'(0) = V(0) = 0

鉴于e^0 = 1，sin(0) = 0且cos(0) = 1，您会得到类似

的内容

Q = -MA
P = 0

或

P = 0
Q = - MA
C = MA

从而

A(t) = MA * [1 - e^(-Dm*t) * cos(K*t)]
where 
Dm =  Fd/(2*m)
K =  sqrt(F/MA/m - Dm^2)

根据你的任务，这是有道理的。

另请注意，此等式假设所有内容均以弧度而非度数发生（即[sin(t)]'的导数仅为cos(t)），因此您应相应地转换所有常量或转换解决方案。

const float Force = 500000.f * M_PI / 180;
const float DampForce = 5000.f * M_PI / 180;
const float MaxAngle = M_PI_4;

在我的机器上产生

Dm = 0.000268677541
K  = 0.261568546

这似乎与原始功能相似，因为dt = 0.01f

，我与float同步并且主要障碍似乎是精确损失

希望这有帮助！