确定前三个中的第四组UV坐标

Question

假设我有一个四核，我正在应用一个池表纹理。我知道前三个顶点的UV坐标（以蓝色突出显示）而不是第四个顶点。

例如，在上图中，我知道左上角坐标为[0,0]，右上角坐标为[1,0]，左下角为[0,1]。如何在数学上确定右下方的UV坐标是[1,1]？我想弄清楚第四组UV坐标将在数学上是什么，这样三角形中显示的纹理我知道UV坐标将适合四边形。

我需要能够处理复杂的情况。 UV坐标和X，Y和Z坐标可以是任何东西，除了我知道它总是一个平面。

最后，我需要能够为具有任意数量顶点的面计算此值。

我对此的初步处理包括检查U坐标在某个X距离上的变化量，然后Y和Z的变化相同，直到我找到了一个关系，但我不断发现该逻辑的新例外情况。我想知道是否有更简单的方法。

如何插值UV来计算第四，第五......第n点？在没有特定的编码语言 - 我只是在寻找方法。

Answer 1

计算缺少U / V属性的顶点的barycentric coordinates，并使用这些坐标推断缺失的属性（实际上是U / V或任何其他属性）。

以下是位置P和U / V坐标T的附加面顶点的完整推导和解决方案：

P1 = (x1, y1, z1), T1 = (u1, v1)
P2 = (x2, y2, z2), T2 = (u2, v2)
P3 = (x3, y3, z3), T3 = (u3, v3)
P  = (x , y , z ), T  = (u , v ) = ?

支持三角形的平面上的点P（P1，P2，P3）（因而整个面）具有重心坐标l1 ，l2，l3：

P = l1 P1 + l2 P2 + l3 P3

with l1 + l2 + l3 = 1

这可以改写为：

P - P1 = ( l1 - 1 ) P1 + l2 P2 + l3 P3
       = -( l2 + l3 ) P1 + l2 P2 + l3 P3
       = l2 ( P2 - P1 ) + l3 ( P3 - P1 )

with l1 = 1 - l2 - l3

将向量V = P - P1投影到向量V21 = P2 - P1和V31 = P3 - P1上会给出：

< V, V21 > = l2 < V21, V21 > + l3 < V31, V21 >
< V, V31 > = l2 < V21, V31 > + l3 < V31, V31 >

其中< V1, V2 >是3D向量V1和V2的点积。

因此，l1，l2，l3）可以通过求解线性系统找到P：

G L = ( < V21, V21 > < V31, V21 > ) ( l2 ) = ( < V, V21 > ) = D
      ( < V21, V31 > < V31, V31 > ) ( l3 )   ( < V, V31 > )

L = ( l2 ) = G^-1 D
    ( l3 )

and l1 = 1 - l2 - l3

这可以明确解决：

d = < V21, V21 > < V31, V31 > - < V21, V31 >^2

l1 = 1 - l2 - l3
l2 = ( < V31, V31 > < V, V21 > - < V21, V31 > < V, V31 > ) / d
l3 = ( < V21, V21 > < V, V31 > - < V21, V31 > < V, V21 > ) / d

请注意，由于附加顶点的位置P位于三角形（P1，P2，P3）之外，因此不等式l1, l2, l3 >= 0赢了＆＃ 39;必须坚持下去。

最后计算附加顶点的外推U / V坐标T：

T = l1 T1 + l2 T2 + l3 T3