如何找到转换（a，b）到（x，y）的步骤数

Question

给出2个数字a = 1且b = 1。

在每个步骤中，您可以执行以下操作之一：

1. 一个+ = B;
2. B + =一个;

如果可以将a转换为x和b转换为y，请找到所需的最小步骤

x和y可以任意大（大于10 ^ 15）

到目前为止，我的方法只是做一个递归回溯，其复杂度（太大）将在O（2 ^ min（x，y））附近。 DP不会做，因为状态可能超过10 ^ 15。

有什么想法吗？是否有解决这个问题的数论？

P.S。这不是作业。

Answer 1

鉴于你达到某些（x，y），唯一的方法就是将较小的值添加到现在较大的值中。说x＆gt; y，那么唯一可能的先前状态是x-y，y。

另请注意，到达x，y的步骤数与获得y，x相同。 所以您正在寻找的解决方案就像

steps(x,y):
  if x < y: return steps(y, x)
  if y == 1: return x - 1 
  if y == 0: throw error  # You can't get this combination.
  return x / y + steps (y, x % y)

Answer 2

换句话说，在Calkin--Wilf tree中找到节点的深度。如果gcd（a，b）= 1，则节点存在。您可以修改gcd算法，将操作数作为副产品（将所有商品计算在一起并减去一个）。