使用SymPy通过给定点构造符号插值样条

Question

假设我从一些在R2上定义的简单数据集开始：

DataPointsDomain = [0,1,2,3,4,5]
DataPointsRange =  [3,6,5,7,9,1]

使用scipy，我可以使用以下代码创建一个惰性多项式样条曲线：

ScipySplineObject = scipy.interpolate.InterpolatedUnivariateSpline( 
    DataPointsDomain, 
    DataPointsRange, 
    k = 1, )

同情的等同物是什么？

SympySplineObject = ...???

（我想定义这个对象并进行分析性交易操作，比如在sympy对象上采用积分，导数等...）

Answer 1

在1.1.1以上的SymPy版本中，包括current development version，有一个内置方法interpolating_spline，它有四个参数：样条度，变量，域值和范围值。 / p>

from sympy import *
DataPointsDomain = [0,1,2,3,4,5]
DataPointsRange =  [3,6,5,7,9,1]
x = symbols('x')
s = interpolating_spline(3, x, DataPointsDomain, DataPointsRange)

返回

Piecewise((23*x**3/15 - 33*x**2/5 + 121*x/15 + 3, (x >= 0) & (x <= 2)),
   (-2*x**3/3 + 33*x**2/5 - 55*x/3 + 103/5, (x >= 2) & (x <= 3)), 
   (-28*x**3/15 + 87*x**2/5 - 761*x/15 + 53, (x >= 3) & (x <= 5)))

这是一个＆＃34;而不是一个结＆＃34;通过给定点的三次样条。

旧答案

可以使用SymPy构建插值样条，但这需要一些努力。方法bspline_basis_set返回给定x值的B样条的基础，但随后由您来找到它们的系数。

首先，我们需要结点列表，它与x值列表（xv下面）不完全相同。端点xv[0]和xv[-1]将出现deg + 1次，其中deg是样条曲线的度数，因为在端点处，所有系数都会更改值（从某些值变为零）。此外，一些接近它们的x值可能根本不会出现，因为那里的系数不会发生变化（＆＃34;不是结＆＃34;条件）。最后，对于偶数度样条（yuck），内部结点位于数据点之间的中间位置。所以我们需要这个辅助函数：

from sympy import *
def knots(xv, deg):
    if deg % 2 == 1:
        j = (deg+1) // 2
        interior_knots = xv[j:-j]
    else:
        j = deg // 2
        interior_knots = [Rational(a+b, 2) for a, b in zip(xv[j:-j-1], xv[j+1:-j])]
    return [xv[0]] * (deg+1) + interior_knots + [xv[-1]] * (deg+1)

从bspline_basis_set方法获取b样条后，必须插入x值并形成一个线性系统，从中找到系数coeff。最后，构造样条：

xv = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
yv =  [3, 6, 5, 7, 9, 1]
deg = 3
x = Symbol("x")
basis = bspline_basis_set(deg, knots(xv, deg), x)
A = [[b.subs(x, v) for b in basis] for v in xv]
coeff = linsolve((Matrix(A), Matrix(yv)), symbols('c0:{}'.format(len(xv))))
spline = sum([c*b for c, b in zip(list(coeff)[0], basis)])
print(spline)

此样条线是SymPy对象。这是3级：

3*Piecewise((-x**3/8 + 3*x**2/4 - 3*x/2 + 1, (x >= 0) & (x <= 2)), (0, True)) + Piecewise((x**3/8 - 9*x**2/8 + 27*x/8 - 27/8, (x >= 3) & (x <= 5)), (0, True)) + 377*Piecewise((19*x**3/72 - 5*x**2/4 + 3*x/2, (x >= 0) & (x <= 2)), (-x**3/9 + x**2 - 3*x + 3, (x >= 2) & (x <= 3)), (0, True))/45 + 547*Piecewise((x**3/9 - 2*x**2/3 + 4*x/3 - 8/9, (x >= 2) & (x <= 3)), (-19*x**3/72 + 65*x**2/24 - 211*x/24 + 665/72, (x >= 3) & (x <= 5)), (0, True))/45 + 346*Piecewise((x**3/30, (x >= 0) & (x <= 2)), (-11*x**3/45 + 5*x**2/3 - 10*x/3 + 20/9, (x >= 2) & (x <= 3)), (31*x**3/180 - 25*x**2/12 + 95*x/12 - 325/36, (x >= 3) & (x <= 5)), (0, True))/45 + 146*Piecewise((-31*x**3/180 + x**2/2, (x >= 0) & (x <= 2)), (11*x**3/45 - 2*x**2 + 5*x - 10/3, (x >= 2) & (x <= 3)), (-x**3/30 + x**2/2 - 5*x/2 + 25/6, (x >= 3) & (x <= 5)), (0, True))/45

您可以使用

区分它

spline.diff(x)

您可以将其整合：

integrate(spline, (x, 0, 5))   #  197/3

你可以绘制它并看到它确实插入了给定的值：

plot(spline, (x, 0, 5))

我甚至将它们绘制成1,2,3度：

免责声明：

• 上面给出的代码适用于development version of SymPy，应该适用于1.1.2+;在以前的版本中，B样条方法存在一个错误。
• 其中一些需要花费大量时间，因为Piecewise对象很慢。根据我的经验，基础建设需要最长时间。